Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

В пространстве, как и на плоскости, можно использовать вектора. Правила работы с ними похожи на уже известные нам действия с плоскими векторами.

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Вектор – это направленный отрезок прямой. Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например:

 →

  a . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B, то вектор обозначается так:

 →

 AB.

А теперь — обратите внимание на следующую схему (она представлена ниже).

Конец вектора обозначают с помощью стрелки.

Здесь показаны сразу три вектора: У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора СD точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ.

Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

Длина вектора АВ — это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки.

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину. Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах.

Признак компланарности трёх векторов

Если вектор с можно разложить по векторам а и b, то есть, представить в виде с=ха+yb, где x и y – некоторые числа, то векторы а, b и с компланарны.

Правило параллелепипеда — правило сложения трёх некомпланарных векторов, состоящее в том, что все три вектора откладывают из одной точки и строят параллелепипед таким образом, чтобы данные векторы были его рёбрами. Тогда вектор, отложенный из той же точки и совпадающий с диагональю параллелепипед, будет суммой трёх данных векторов.

          →                                                                          →  → → 

Вектор р разложен по трём некомпланарным векторам а, b и с, если его можно представить в виде

→  → → →

 р = ха + yb + zc,

где x, y и z — коэффициенты разложения.

Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, на которых выбраны направление и единица измерения отрезков, которые лежат в трёх разных плоскостях xy, yz, xz и имеют общую точку пересечения O.

Оси координат — прямые x, y, z с выбранными на них направлениями.

Начало координат — точка их пересечения О.

Оси координат в пространстве обозначают Ox, Oy, Oz (соответственно ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат).

Координатные векторы — единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением координатных осей.

        →                                                                                    →

Вектор i совпадает по направлению с осью абсцисс, вектор j совпадает по

                                                            →

направлению с осью ординат, вектор k– с осью аппликант.

                            → 

Любой вектор с можно разложить по координатным векторам:

   →   →   → → 

     с = xi + yj + zk

                                → 

Координаты вектора с в данной системе координат — коэффициенты разложения x, y и k, которые определяются единственным образом:

→ 

c (x ; y ; z).

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

 →   →   → →

  p = xa + yb + zc 

Здесь p, a, b, c — это некоторые сектора, а x, y, z — это какие-то действительные числа. Оказывается, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заранее заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Пример решения задачи на разложение вектора по трем некомпланарным

Задача: дан куб  с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор по векторам и найти его длину.

Решение: построим заданный куб

Векторами и задается плоскость квадрата . Третий вектор не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора , и некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: . вектор мы по условию обозначили как вектор . Вектор согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .

Вектор составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра по условию: . Вектор согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Он прямоугольный потому, что ребро перпендикулярно всей плоскости основания , значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой . Один из катетов равен m как ребро куба. Катет найдем из другого прямоугольного треугольника – , где он уже является гипотенузой. Здесь катет равен m как ребро куба. Катет равен , так как точка К – середина ребра . Имеем:

Для закрепления нового материала повторите новые для себя определения, правила, теоремы. Также запомните Признак компланарности трёх векторов. Это пригодится вам в дальнейшей изучении материала.