Арифметическая прогрессия: определение, формулы, свойства и примеры решения задач

Татьяна Яснова

Пишу и редактирую материалы о школьном образовании, семейном обучении, поступлении и выборе образовательных программ. Стараюсь объяснять сложные вопросы простым и понятным языком, опираясь на актуальные нормативные документы и экспертные материалы.

Задать вопрос

Быстрый ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность для описания равномерно растущих или убывающих величин, в которой каждый следующий член равен предыдущему плюс одно и то же число. Постоянное число называют разностью и обозначают буквой d. Пример: 2, 5, 8, 11, 14 — здесь d = 3. Любой член находят по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)·d, сумму первых n членов — по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2^[1]. Тема входит в раздел о числовых последовательностях и прогрессиях в программе 9 класса^[2].

Ключевые факты: арифметическая прогрессия за одну минуту

• Что это такое. Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой разность между каждой парой соседних членов одна и та же.
• Где тема в программе. Раздел «Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии» включён в федеральную рабочую программу по математике для 9 класса^[2].
• Одна пара членов ничего не доказывает. Равенство разности для одной пары соседних членов не делает последовательность прогрессией: постоянство d требуется для всех соседних пар^[1].
• Чем отличается от геометрической. В арифметической прогрессии к члену прибавляют постоянное число d, в геометрической — умножают на постоянный знаменатель q^[1].
• Порядок работы с задачей. Найдите d по двум соседним членам, затем подставьте a₁ и d в формулу n-го члена, и только после этого считайте сумму.

Прогрессии — тема алгебры, где ошибка возникает не из-за сложности, а из-за одной лишней единицы в формуле. В формуле n-го члена стоит множитель (n − 1)·d, а не n·d: от первого члена до n-го сделано именно (n − 1) шагов^[1]. Разность вычислена верно, логика ясна, а ответ неправильный — чаще всего виноват как раз этот множитель. Вторая по частоте ошибка — применение формулы суммы к диапазону, который начинается не с первого члена.

Задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» входят в раздел «Алгебра» кодификатора проверяемых требований и элементов содержания КИМ ОГЭ по математике^[3]. Тему нельзя отложить «на потом»: она появится на экзамене в любом случае — в коротком задании с числовым ответом либо как часть более крупной задачи.

Что такое арифметическая прогрессия: определение и примеры

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d. Члены записывают с индексами: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, где индекс — номер члена по порядку.

Определение держится на двух словах: «каждый» и «одно и то же». Убери любое — определение разваливается. Если правило выполняется не для каждой пары соседних членов, прогрессии нет. Если на разных шагах прибавляют разные числа, прогрессии тоже нет.

Коротко правило записывают рекуррентной формулой aₙ₊₁ = aₙ + d^[1]. Читается просто: следующий член равен текущему плюс разность. Такая запись называется рекуррентной, потому что задаёт член через предыдущий, а не напрямую через номер.

Как читается определение арифметической прогрессии

Словесная формулировка короткая: последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый её следующий член получается прибавлением к предыдущему постоянного, неизменного числа. Три опорных слова — «следующий», «предыдущий», «постоянное».

• «Числовая последовательность» — члены идут в строгом порядке и пронумерованы. Переставить местами нельзя: a₃ — это именно третье по счёту число.
• «Каждый следующий» — правило проверяется по всей длине ряда, а не выборочно.
• «Прибавлением постоянного числа» — операция только сложение. Умножение даёт другую прогрессию, геометрическую.
• «Начиная со второго» — у первого члена нет предыдущего, поэтому a₁ задаётся условием задачи и не выводится.

Прогрессия не обязана быть бесконечной. Конечная последовательность из пяти членов с постоянной разностью — полноценная арифметическая прогрессия, и формулы n-го члена и суммы к ней применимы^[4]. Утверждение «прогрессия всегда бесконечна» — распространённое заблуждение, которое мешает решать задачи с конечными рядами вида «в первом ряду 12 мест, в каждом следующем на 2 больше, всего 20 рядов».

Примеры арифметических прогрессий из математики

Самые короткие примеры прогрессий — те, которые школьник видел задолго до 9 класса.

• Натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, … Первый член a₁ = 1, разность d = 1.
• Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10, … Здесь a₁ = 2, d = 2.
• Нечётные числа: 1, 3, 5, 7, 9, … a₁ = 1, d = 2. Та же разность, другой первый член — другая прогрессия.
• Убывающий ряд: 20, 17, 14, 11, 8 — конечная прогрессия из пяти членов, d = −3.
• Постоянный ряд: 7, 7, 7, 7, 7 — прогрессия с d = 0, все члены равны a₁.

Последний пример кажется вырожденным, но он законный: нулевая разность не запрещена определением. Именно он чаще всего ломает автоматические решения — о краевом случае d = 0 поговорим в разделе про количество членов.

Полезная проверка на глаз: выпишите разности между соседними членами в отдельную строку. Для ряда 2, 5, 8, 11, 14 получится 3, 3, 3, 3 — одинаковые числа. Для ряда 2, 4, 8, 16 получится 2, 4, 8 — разные, и это уже не арифметическая прогрессия.

Разность арифметической прогрессии и её обозначение

Разность арифметической прогрессии — это число d, равное разнице любого члена и предыдущего: d = aₙ − aₙ₋₁^[1]. Порядок вычитания принципиален: из последующего вычитают предыдущий, а не наоборот. Перепутанный порядок даёт верное число с противоположным знаком — и дальше все вычисления уходят в другую сторону.

Чтобы найти d, достаточно двух соседних членов. Для ряда 4, 9, 14, 19: d = 9 − 4 = 5. Проверка по другой паре: 19 − 14 = 5. Совпало — значит шаг действительно постоянный на проверенных участках.

Разность показывает, насколько ряд меняется за один шаг, и сразу задаёт характер прогрессии.

Разность может быть любым действительным числом: положительным, отрицательным или нулём^[4]. Миф «разность всегда положительная» рождается из школьных примеров, где ряды растут. На экзамене ровно наоборот: убывающая прогрессия с отрицательной d встречается постоянно, и автоматическая подстановка «со знаком плюс» ломает ответ. Если в условии числа уменьшаются, d обязана быть отрицательной — первый контроль правильности.

Разность не обязана быть целой. Ряд 0,5; 1,2; 1,9; 2,6 — прогрессия с d = 0,7. Дробная разность не меняет ни одну формулу, но повышает риск арифметической ошибки: считайте в обыкновенных дробях, если десятичные получаются бесконечными.

Не путать: разность прогрессии d — характеристика всей последовательности, а разница двух произвольных членов — частное значение. Для членов, стоящих через k шагов, верно aₙ₊ₖ − aₙ = k·d. Разница третьего и первого члена равна 2d, а не d.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии записывается как aₙ = a₁ + (n − 1)·d и позволяет найти любой член по его номеру^[1]. Нужны всего два известных значения: первый член и разность. Номер n подставляется напрямую, промежуточные члены вычислять не требуется.

Откуда берётся множитель (n − 1), видно из цепочки шагов:

• a₂ = a₁ + d — один шаг разности;
• a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d — два шага;
• a₄ = a₁ + 3d — три шага;
• aₙ = a₁ + (n − 1)·d — на единицу меньше шагов, чем номер.

Запись aₙ = a₁ + n·d не существует как формула прогрессии: от первого члена до n-го сделано (n − 1) переходов, а не n^[1]. Ошибка самая массовая в теме и при этом коварная: при маленьких номерах ответ отличается всего на d, и расхождение легко списать на арифметику. Контроль простой — подставьте n = 1. Правильная формула даёт a₁ + 0·d = a₁, ошибочная — a₁ + d, то есть второй член вместо первого.

Формула n-го члена работает в обе стороны. Если известны aₙ, a₁ и d, из неё находят номер члена; если известны aₙ, a₁ и n — находят разность: d = (aₙ − a₁)/(n − 1).

Все семь записей в таблице — рабочий минимум по теме^[1][4]. Отдельно запоминать больше ничего не нужно: остальные соотношения выводятся из них за одну-две строки.

Как применять формулу n-го члена без ошибок

Порядок действий, который экономит время на экзамене:

1. Выпишите из условия a₁ и d. Если d не дана — вычислите по двум соседним членам.
2. Проверьте знак d по условию: числа растут или убывают.
3. Подставьте значения в aₙ = a₁ + (n − 1)·d, сначала посчитайте (n − 1).
4. Умножьте полученное число на d и только потом прибавьте a₁.
5. Проверьте ответ на правдоподобие: при d > 0 член с большим номером обязан быть больше.

Шаг 3 выделен отдельно не случайно. Большая часть потерянных баллов — посчитанное в уме n·d вместо (n − 1)·d. Скобка, записанная на бумаге, снимает риск полностью.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2 — это полусумма крайних членов, умноженная на их количество^[1]. Вторая форма той же формулы работает, когда последний член неизвестен: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)·d)·n / 2^[1].

Выбор формы зависит только от того, что дано в условии.

• Известны первый и последний члены — берите первую форму, она короче.
• Известны первый член, разность и количество членов — берите вторую форму.
• Известны a₁, d и aₙ, но не дано n — сначала найдите n, потом считайте сумму.

Логика формулы — тот самый школьный приём, который приписывают Гауссу. Сложим числа от 1 до 100 парами с концов: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Каждая пара даёт одну и ту же сумму, пар ровно 50, итог — 101 · 50 = 5050. Отсюда и общий вид: полусумма крайних членов умножается на количество членов.

Работает приём благодаря свойству равноудалённых членов: для конечной прогрессии из n членов aₖ + aₙ₋ₖ₊₁ = a₁ + aₙ при любом допустимом k^[1]. Сумма второго и предпоследнего равна сумме первого и последнего, сумма третьего и третьего с конца — тоже. Свойство даёт короткое решение целого класса задач.

Сумма членов не с первого, а с произвольного номера

Формула Sₙ считает сумму только первых n членов, начиная с a₁. Если в условии нужен диапазон «с k-го по m-й», прямая подстановка даёт неверный результат^[1]. Есть два корректных пути.

• Через разность сумм: S = Sₘ − Sₖ₋₁. Считаем сумму до m-го члена и вычитаем сумму до члена перед k-м.
• Через полусумму крайних: S = (aₖ + aₘ)·(m − k + 1)/2. Формула — прямое следствие свойства равноудалённых членов, и считается быстрее.

Во второй формуле главное — множитель (m − k + 1). Количество членов от k-го до m-го включительно на единицу больше разности номеров. С 5-го по 9-й член — пять членов, а не четыре. Та же логика «плюс один», что и в формуле n-го члена, и ошибаются в ней так же часто.

Проверка суммы на правдоподобие

Перед тем как записать ответ, прогоните две быстрые проверки.

• Оценка через средний член. Сумма примерно равна количеству членов, умноженному на среднее крайних значений. Если ответ отличается в разы — ошибка в арифметике.
• Знак результата. У убывающей прогрессии с отрицательными членами сумма может быть отрицательной — это нормально. Но у ряда из положительных чисел отрицательная сумма невозможна.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Характеристическое свойство арифметической прогрессии гласит: каждый её член начиная со второго равен среднему арифметическому соседних членов, то есть aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2^[4]. Свойство выполняется для любого n ≥ 2 — для всех членов, у которых есть и предыдущий, и следующий.

Свойство — не просто ещё одна формула, а критерий. Если равенство выполняется для каждого внутреннего члена последовательности, перед вами арифметическая прогрессия, и обратное тоже верно^[4]. Поэтому вопрос «является ли ряд прогрессией» решается именно через него.

Из свойства удобно достраивать пропущенный член. Дан ряд 7, x, 19. Если это прогрессия, то x = (7 + 19)/2 = 13. Проверяем: 13 − 7 = 6, 19 − 13 = 6 — разность постоянна, ряд корректен.

Второе рабочее свойство — равенство сумм членов, равноудалённых от концов конечной прогрессии: aₖ + aₙ₋ₖ₊₁ = a₁ + aₙ^[1]. Оно нужно не только для вывода формулы суммы. Задача «найдите сумму третьего и восемнадцатого членов прогрессии из 20 членов, если a₁ = 4, a₂₀ = 61» решается в одну строку: сумма равна 4 + 61 = 65, считать сами члены не нужно.

Ограничение проверки: одна тройка ничего не доказывает

Характеристическое свойство обязано выполняться для каждого внутреннего члена, а не только для одной выбранной тройки^[4]. Проверка «на двух членах» или на одном фрагменте не доказывает, что последовательность — прогрессия.

Пример: ряд 1, 3, 5, 10. Проверяем середину: (3 + 5)/2 = 4 ≠ 3 — уже видно нарушение. Но даже если взять ряд 1, 3, 5, 12: первая тройка даёт (1 + 5)/2 = 3 — совпало, свойство выполнено. А вторая тройка: (3 + 12)/2 = 7,5 ≠ 5. Прогрессии нет, хотя первая проверка прошла успешно.

Отсюда практическое правило: на три-четыре числа проверяйте все внутренние члены, это быстро. Для длинного ряда, заданного правилом, проверяйте разность aₙ₊₁ − aₙ в общем виде — она обязана не зависеть от n.

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической

Арифметическая прогрессия отличается от геометрической операцией перехода к следующему члену: в арифметической прибавляют постоянную разность d, в геометрической умножают на постоянный знаменатель q^[1]. Перед нами разные законы образования последовательности, а не две записи одного и того же.

Разница видна на глаз. Ряд 3, 6, 9, 12 — арифметическая прогрессия: шаг +3. Ряд 3, 6, 12, 24 — геометрическая: каждый член вдвое больше предыдущего. Арифметическая растёт равномерно, как ступеньки одинаковой высоты. Геометрическая разгоняется: чем дальше, тем больше шаг.

Обратите внимание на строку «Как найти параметр»: именно здесь удобнее всего определять тип прогрессии. Если разности соседних членов одинаковы — арифметическая. Если одинаковы их отношения — геометрическая. Если ни то, ни другое — ни одна из двух.

Утверждение «арифметическая и геометрическая прогрессии — одно и то же, просто разные формулы» неверно и приводит к систематической ошибке^[1]. Ученик, который так считает, подставляет d там, где нужен q, и наоборот. Маркер опасности: в черновике появляется выражение вида b₁ + (n − 1)·q — такой формулы нет ни у одной прогрессии.

Не путать: разность d в арифметической прогрессии складывается, знаменатель q в геометрической — умножается. В арифметической прогрессии d = 0 допустима и даёт постоянный ряд; в геометрической q = 0 невозможна, иначе все члены после первого обращаются в ноль и деление в формуле знаменателя теряет смысл.

Примеры решения задач на арифметическую прогрессию

Любая типовая задача на арифметическую прогрессию решается по одной схеме: выписать известные величины, найти недостающую из a₁, d или n, подставить в нужную формулу^[1]. Ниже — четыре задачи, закрывающие основные типы формулировок.

Задача на нахождение n-го члена

Условие. В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = 4. Найдите a₁₅.

Решение по шагам.

1. Выписываем данные: a₁ = 7, d = 4, n = 15.
2. Берём формулу n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)·d.
3. Считаем множитель: n − 1 = 15 − 1 = 14.
4. Подставляем: a₁₅ = 7 + 14 · 4 = 7 + 56 = 63.

Ответ: a₁₅ = 63.

Контроль. Прогрессия возрастающая (d > 0), пятнадцатый член должен быть заметно больше первого — 63 против 7, правдоподобно. Если бы считали по ошибочной формуле a₁ + n·d, получили бы 67 — ответ, который на экзамене не зачтут.

Задача на нахождение разности по двум членам

Условие. В арифметической прогрессии a₃ = 11, a₈ = 31. Найдите d и a₁.

Решение. От третьего члена до восьмого сделано 8 − 3 = 5 шагов разности. Значит a₈ − a₃ = 5d, откуда 31 − 11 = 5d, то есть 5d = 20 и d = 4.

Теперь первый член: a₃ = a₁ + 2d, поэтому 11 = a₁ + 8 и a₁ = 3.

Ответ: d = 4, a₁ = 3.

Где здесь ловушка. Число шагов между членами с номерами k и m равно m − k, а не m − k + 1. Количество членов в диапазоне — на единицу больше, количество шагов — ровно разность номеров. Два похожих правила легко перепутать: шаги считаем вычитанием, члены — вычитанием плюс один.

Задача на сумму членов арифметической прогрессии

Условие. Найдите сумму первых 20 членов прогрессии, если a₁ = 5, d = 3.

Решение способом 1 (через a₁ и d). Применяем Sₙ = (2a₁ + (n − 1)·d)·n / 2. Подставляем: S₂₀ = (2 · 5 + 19 · 3) · 20 / 2 = (10 + 57) · 10 = 67 · 10 = 670.

Решение способом 2 (через крайние члены). Сначала находим a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62. Затем S₂₀ = (5 + 62) · 20 / 2 = 67 · 10 = 670.

Ответ: S₂₀ = 670.

Оба способа дали один результат — это и есть встроенная проверка. Если ответы расходятся, ошибка в арифметике, и искать её нужно в множителе (n − 1).

Задача на сумму диапазона и номер члена

Условие. В прогрессии a₁ = 2, d = 5. Найдите сумму членов с 6-го по 12-й включительно.

Решение. Находим крайние члены диапазона: a₆ = 2 + 5 · 5 = 27, a₁₂ = 2 + 11 · 5 = 57. Количество членов: 12 − 6 + 1 = 7. Применяем формулу частичной суммы: S = (27 + 57) · 7 / 2 = 84 · 7 / 2 = 294.

Ответ: 294.

Проверка через разность сумм. S₁₂ = (2 · 2 + 11 · 5) · 12 / 2 = (4 + 55) · 6 = 354. S₅ = (2 · 2 + 4 · 5) · 5 / 2 = 24 · 5 / 2 = 60. Разность: 354 − 60 = 294. Совпало.

Второй распространённый тип вопроса — найти номер члена по его значению. Пусть a₁ = 3, d = 7, нужно выяснить, каким по счёту идёт член 73. Из формулы n-го члена: 73 = 3 + (n − 1)·7, значит (n − 1)·7 = 70, n − 1 = 10, n = 11. Если бы n получилось нецелым — например, 8,4 — такого члена в прогрессии не было бы. Полезный критерий: номер члена всегда натуральное число.

Арифметическая прогрессия в школьной программе и на ОГЭ

Арифметическая прогрессия изучается в курсе алгебры 9 класса и входит в предметные результаты освоения математики на уровне основного общего образования^[5]. Раздел «Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии» включён в федеральную рабочую программу по учебному предмету «Математика» в модуле «Алгебра» для 9 класса^[2].

Для родителя вывод простой: тема обязательна в любой школе и в любой форме обучения — очной, заочной, семейной. Содержание учебного предмета задаётся федеральным документом, а не выбором конкретного учителя^[2]. Если ребёнок учится дистанционно или сдаёт аттестацию экстерном, прогрессии всё равно будут в перечне тем за 9 класс.

Задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» входят в раздел «Алгебра» кодификатора проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы и элементов содержания КИМ ОГЭ по математике^[3]. Кодификатор и спецификацию публикует ФИПИ на соответствующий учебный год — по этому документу и стоит сверять список тем перед подготовкой, а не по пересказам в блогах.

Порядок проведения государственной итоговой аттестации по программам основного общего образования утверждён совместным приказом Минпросвещения России и Рособрнадзора^[6]. Там описаны правила экзамена: сроки, допуск, пересдачи. Содержание заданий этот документ не задаёт — за него отвечают кодификатор и спецификация ФИПИ^[3].

Какие типы заданий встречаются

Формулировки заданий по теме сводятся к нескольким типам. Урок подготовки логично строить по ним, а не по общему «повторить прогрессии».

• Найти член по номеру. Даны a₁ и d, нужен aₙ. Решается одной подстановкой.
• Найти разность или первый член. Даны два члена с разными номерами. Решается через число шагов между ними.
• Найти сумму. Чаще — первых n членов, реже — диапазона с k-го по m-й.
• Найти номер члена. Дано значение, нужен n. Ответ обязан быть натуральным.
• Прикладная задача. Текст про ряды в зале, вклады, количество деталей в партиях. Прогрессия спрятана в условии, её нужно опознать.

Последний тип — самый недооценённый. Школьник отлично считает по формулам, но не видит прогрессию в тексте «в первом ряду 15 мест, в каждом следующем на 3 больше». Распознавание тренируется только на текстовых задачах, и это отдельный навык.

Как организовать подготовку по теме

Рабочая последовательность занятий — от определения к задачам, без перескоков:

1. Разберите определение и научитесь вычислять d по соседним членам.
2. Отработайте формулу n-го члена на десяти примерах с разными знаками d.
3. Добавьте обе формулы суммы и научитесь выбирать между ними по условию.
4. Освойте характеристическое свойство как инструмент проверки.
5. Решите блок текстовых задач, где прогрессию нужно опознать самостоятельно.
6. Прогоните задания по теме из открытых материалов ФИПИ^[3].

Видеоурок полезен на первых двух шагах: он показывает вывод формулы, который трудно уложить в голову с одного чтения. Дальше видео не помогает — нужна практика с разбором собственных ошибок. Если тема не закрывается самостоятельно, разумный следующий шаг — занятия, где учитель видит ход решения и ловит ошибку в момент её появления. Такой разбор есть в программах онлайн-школ с аккредитацией: посмотреть формат обучения и расписание можно в Онлайн Гимназии №1.

Онлайн-калькулятор прогрессии уместен как средство проверки ответа, а не замена решению. Калькулятор считает по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)·d и суммы, но на экзамене его не будет, и баллы ставят за запись хода решения.

Когда последовательность не является арифметической прогрессией

Арифметической прогрессией не является последовательность, в которой разность между соседними членами меняется хотя бы на одном шаге^[1]. Формулы n-го члена и суммы применять нельзя — они дадут числа, не имеющие отношения к условию. Разберём пять ситуаций, где счёт «по формуле прогрессии» не подходит.

Разность непостоянна. Ряд 2, 5, 9, 14: разности 3, 4, 5 — разные. Перед нами последовательность с собственной закономерностью, но не арифметическая прогрессия. Признак: строка разностей состоит из разных чисел.

Члены получаются умножением. Ряд 3, 6, 12, 24: каждый следующий вдвое больше. Разности 3, 6, 12 растут, зато отношения постоянны — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 2^[1]. Подстановка в формулу арифметической прогрессии здесь бессмысленна.

Проверена только одна пара членов. Равенство разности для одной пары соседних членов не доказывает, что перед вами прогрессия; постоянство d требуется для всех соседних пар^[1]. Миф «разности совпали — значит прогрессия» стоит дороже всего: решение выглядит аккуратным, а ответ неверен. Маркер опасности — в черновике проверена ровно одна разность, а дальше сразу идёт формула.

Закономерности нет вообще. Конечный ряд 4, 11, 6, 20 не описывается ни сложением, ни умножением постоянного числа. Такие наборы встречаются как отвлекающий вариант ответа в вопросе «какая из последовательностей является арифметической прогрессией».

Нужен член вне заданного ряда. Если прогрессия конечна и задана n членами, а в задаче просят aₙ₊₅ — формально такого члена нет. Формула посчитает значение, но условию оно не соответствует: конечная прогрессия заканчивается на своём последнем члене^[4].

Краевой случай d = 0: когда формула количества членов не работает

Формула n = (aₙ − a₁)/d + 1 требует, чтобы разность не была нулевой^[1]. При d = 0 в знаменателе получается ноль, и деление невозможно.

Смысл ограничения не только арифметический. При d = 0 все члены прогрессии равны a₁, поэтому по значению члена нельзя определить его номер: число 6 в ряду 6, 6, 6, 6 — и первый член, и четвёртый одновременно^[1]. Восстановить n по значению в такой прогрессии невозможно в принципе, и условие задачи с d = 0 и вопросом «найдите номер члена» некорректно.

Для постоянной прогрессии формулы упрощаются: aₙ = a₁ при любом n, а сумма первых n членов равна n·a₁. Отдельно их запоминать не нужно — это подстановка d = 0 в общие формулы.

Чек-лист: прогрессия или нет

1. Выпишите разности всех соседних пар в отдельную строку.
2. Сравните их между собой: все одинаковы — арифметическая прогрессия.
3. Разности разные — проверьте отношения соседних членов: одинаковы — геометрическая прогрессия.
4. Для длинного ряда, заданного формулой, посчитайте aₙ₊₁ − aₙ в общем виде: выражение не зависит от n — прогрессия.
5. Сомневаетесь — проверьте характеристическое свойство для каждого внутреннего члена^[4].

Частые вопросы

Может ли разность арифметической прогрессии быть отрицательной или равной нулю?

Да, разность может быть любым действительным числом^[4]. При d < 0 прогрессия убывающая: 18, 13, 8, 3. При d = 0 прогрессия постоянная, все её члены равны первому члену. Формулы n-го члена и суммы работают во всех трёх случаях одинаково.

Как найти количество членов арифметической прогрессии, если известны первый и последний?

Количество членов находят по формуле n = (aₙ − a₁)/d + 1^[1]. Например, при a₁ = 4, aₙ = 34 и d = 3 получаем n = (34 − 4)/3 + 1 = 11. Формула неприменима при d = 0: деление на ноль невозможно, а все члены такой прогрессии равны между собой.

Что такое характеристическое свойство арифметической прогрессии?

Характеристическое свойство — это равенство aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2, то есть каждый член начиная со второго равен среднему арифметическому соседних^[4]. Свойство служит критерием: если оно выполняется для всех внутренних членов, последовательность является арифметической прогрессией.

Можно ли посчитать сумму членов прогрессии с 7-го по 15-й по обычной формуле Sₙ?

Нет: формула Sₙ считает сумму только первых n членов, начиная с первого^[1]. Для диапазона применяют разность сумм S₁₅ − S₆ либо формулу S = (a₇ + a₁₅)·(15 − 7 + 1)/2. Множитель равен девяти — количество членов в диапазоне на единицу больше разности номеров.

В каком классе изучают арифметическую прогрессию?

Тему изучают в 9 классе: раздел «Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии» входит в федеральную рабочую программу по математике для 9 класса^[2], а требования к результатам закреплены федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования^[5].

Что будет, если применить формулу aₙ = a₁ + n·d вместо правильной?

Если использовать запись с множителем n вместо (n − 1), ответ окажется больше верного ровно на одну разность d^[1]. Ошибка не видна по порядку величины, поэтому её редко замечают. Быстрая проверка: подставьте n = 1 — правильная формула обязана вернуть именно первый член.

Встречается ли арифметическая прогрессия на ОГЭ по математике?

Да, задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» входят в раздел «Алгебра» кодификатора элементов содержания КИМ ОГЭ по математике^[3]. Перечень тем и структуру работы публикует ФИПИ в спецификации на соответствующий год — сверяться стоит по этому документу.

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций. — М.: Просвещение, 2023.

[2] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования» (федеральная рабочая программа по учебному предмету «Математика», модуль «Алгебра», 9 класс).

[3] ФГБНУ «ФИПИ». Спецификация и кодификатор проверяемых требований к результатам освоения ООП ООО и элементов содержания контрольных измерительных материалов для проведения ОГЭ по математике, 2026 г.

[4] Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 9 класс: учебник. — М.: Просвещение / Вентана-Граф, 2023.

[5] Приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования».

[6] Приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 04.04.2023 № 232/551 «Об утверждении Порядка проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования».