Периметр и площадь фигур: формулы, таблица и примеры решения задач

Татьяна Яснова

Пишу и редактирую материалы о школьном образовании, семейном обучении, поступлении и выборе образовательных программ. Стараюсь объяснять сложные вопросы простым и понятным языком, опираясь на актуальные нормативные документы и экспертные материалы.

Задать вопрос

Быстрый ответ: Периметр и площадь фигур — это две разные величины одной плоской фигуры для школьных расчётов начиная с 3 класса: периметр равен длине замкнутой границы, площадь — размеру части плоскости внутри контура. Периметр записывают в линейных единицах (см, м), площадь — только в квадратных (см², м²)^[1]. Для квадрата P = 4a и S = a², для прямоугольника P = 2(a + b) и S = a · b^[2]. Составную фигуру разбивают на прямоугольники: площади частей складывают, периметр считают по внешнему контуру.

Ключевые факты: периметр и площадь фигур за одну минуту

• Граница и внутренность. Периметр — длина замкнутой линии, ограничивающей плоскую фигуру; площадь — величина части плоскости внутри этой линии.
• Равный периметр, разная площадь. У прямоугольников 1 × 9 см и 5 × 5 см периметр одинаковый — 20 см, а площади отличаются в разы: 9 см² и 25 см²^[2].
• Периметр есть только у замкнутого контура. У ломаной или дуги величина P не определена — измеряется длина линии^[2].
• Единицы приводят заранее. Стороны в сантиметрах и метрах нельзя подставить в одну формулу: сначала перевод к одной единице, потом вычисление^[1].
• Порядок работы. Определите тип фигуры, выберите формулу по таблице, подставьте значения, запишите ответ с нужной единицей.

Запрос «периметр и площадь фигур» вводят третьеклассник, семиклассник и девятиклассник перед ОГЭ — а материал им нужен разный. Федеральная образовательная программа начального общего образования относит тему «Площадь. Единицы площади. Площадь прямоугольника» к 3 классу^[3], а площади параллелограмма, треугольника и трапеции программа основного общего образования закрепляет за 8 классом геометрии^[4].

Отсюда и путаница в поиске: по запросу «геометрия 7 класс» ученик ждёт формулы площадей, а в программе 7 класса идут многоугольники и задачи на составные фигуры. Ниже формулы разведены по фигурам и по классам, а отдельно разобраны составные фигуры из прямоугольников и задания ОГЭ на клетчатой бумаге.

Что такое периметр и площадь: определения и единицы измерения

Периметр — это длина замкнутой границы фигуры, а площадь — размер части плоскости внутри этой границы. Два понятия описывают одну фигуру с разных сторон: одно измеряет линию, другое — поверхность.

Периметр обозначают буквой P и находят сложением длин всех сторон. Порядок простой: обойдите контур по кругу и сложите каждую сторону один раз. Площадь обозначают буквой S и считают по формуле, своей для каждого типа фигуры^[2].

Единицы разводят эти величины жёстче, чем слова. Длина и периметр измеряются в метрах и производных — мм, см, дм, км. Для площади берут квадратный метр и производные — мм², см², дм², км²; дополнительно в России допущены ар (100 м²) и гектар (10 000 м²)^[1].

Площадь в сантиметрах не записывается: сантиметр — единица длины, и запись «S = 24 см» ошибочна даже при верном вычислении. Проверка одна: величина получена умножением двух длин — единица обязана быть квадратной^[1].

Чем периметр отличается от площади: как не перепутать

Периметр отличается от площади тем, что растёт вместе с контуром, а не с заполнением фигуры. Частая ошибка в 3–4 классе — сложить длину и ширину и назвать результат площадью.

Бытовая аналогия работает лучше определений: периметр — забор вокруг участка, площадь — газон внутри забора. Забор покупают метрами, газон — квадратными метрами.

Равные периметры не означают равных площадей. У прямоугольников 1 × 9 см и 5 × 5 см периметр один — 20 см, а площади разные: 9 см² и 25 см². При фиксированном периметре площадь прямоугольника максимальна у квадрата^[2].

Формулы периметра и площади всех основных фигур: таблица

Формулы периметра и площади всех основных фигур собраны в одной таблице — от квадрата до круга. Все они входят в кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике, 2025^[2].

Обозначения: a, b, c, d — стороны; h — высота, проведённая к указанной стороне; d₁ и d₂ — диагонали; r — радиус; α — угол между сторонами. Формула S = ½ · a · h требует высоты именно к стороне a: подстановка боковой стороны вместо высоты завышает ответ^[2].

Не путать: длина окружности C = 2πr — это периметр круга, а площадь круга считается отдельно по формуле S = πr²^[2].

Специальные формулы: площадь через периметр и радиус или угол

Площадь треугольника находится через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = p · r, где p = (a + b + c)/2^[2]. Полупериметр считают до подстановки.

Формула S = p · r работает только с радиусом вписанной окружности. Взяли радиус описанной — результат неверный: для описанной окружности применяется формула S = abc/(4R)^[2].

Площадь ромба через сторону и угол: S = a² · sin α, периметр ромба — P = 4a^[2]. Запрос «площадь ромба через периметр и угол» сводится к двум шагам: сторона находится как a = P/4, дальше идёт подстановка в формулу с синусом.

Формула Герона S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)] даёт площадь треугольника по трём сторонам — без высоты и без углов^[2]. Удобна там, где высота на рисунке не проведена.

Как найти периметр и площадь фигуры, составленной из прямоугольников

Площадь фигуры из прямоугольников равна сумме площадей частей, а периметр считается по внешнему контуру. Такие задачи дают в 7 классе геометрии при изучении многоугольников и в проверочных работах средней школы.

Методов два, и оба дают верный ответ. Разбиение: провести вспомогательные линии и разделить фигуру на прямоугольники. Достройка: дополнить фигуру до большого прямоугольника и вычесть вырезанные части.

Полезное свойство для проверки: если все вырезы идут параллельно сторонам, периметр составной фигуры равен периметру описанного вокруг неё прямоугольника — «ушедшие» и «вернувшиеся» отрезки по каждому направлению компенсируют друг друга^[2]. На площадь свойство не распространяется: её получают только сложением или вычитанием частей.

Алгоритм разбиения составной фигуры на прямоугольники

1. Приведите все размеры к одной единице измерения^[1].
2. Проведите вспомогательные линии пунктиром и пронумеруйте части.
3. Найдите неизвестные стороны: сторона выреза равна разности противоположных размеров.
4. Посчитайте площадь каждого прямоугольника по формуле S = a · b^[2].
5. Сложите площади частей — получите площадь всей фигуры.
6. Обойдите внешний контур и сложите каждую сторону один раз.
7. Запишите ответ: периметр в см, площадь в см².

Разбор задачи по рисунку: вычислить периметр и площадь закрашенной фигуры

Условие типового задания: закрашенная фигура — прямоугольник 6 см × 4 см, из верхнего правого угла которого вырезан квадрат 2 см × 2 см. Нужны периметр и площадь.

1. Разбиение: вертикальная линия делит фигуру на две части — 4 см × 4 см и 2 см × 2 см.
2. Площади частей: 16 см² и 4 см². Сумма: S = 20 см².
3. Контур: 6 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 = 20 см, то есть P = 20 см.
4. Проверка: периметр описанного прямоугольника 2 · (6 + 4) = 20 см — совпало; его площадь 24 см² больше на вырезанные 4 см².

Обратите внимание на запись ответа: числа совпали, а величины разные — P = 20 см и S = 20 см². Если часть размеров на рисунке дана в миллиметрах, перевод делается до первого умножения^[1].

Задачи на периметр и площадь по классам: 3, 4, 5, 6 класс

Периметр и площадь фигур школьник осваивает порциями: прямоугольник в начальной школе, остальные многоугольники — в основной. Тема «Площадь. Единицы площади. Площадь прямоугольника» закреплена за 3 классом^[3].

Периметр и площадь в 3–4 классе: прямоугольник и квадрат

В 3 и 4 классе периметр находят сложением сторон, без формул с буквами: ребёнок обходит фигуру и складывает числа. Площадь прямоугольника даётся как произведение длины на ширину, площадь квадрата — как произведение равных сторон^[2].

Основной инструмент урока — клетчатая бумага. Площадь считают в квадратных сантиметрах прямым подсчётом клеток, и этот приём остаётся рабочим до самого ОГЭ. Задания вида «найди периметр и площадь фигуры» в 4 классе обычно дают на фигуре из двух прямоугольников — это первый шаг к составным фигурам.

Периметр и площадь в 5–6 классе: треугольник и комбинированные фигуры

В 5–6 классе добавляются треугольник и комбинированные фигуры. Площадь прямоугольного треугольника считают как половину произведения катетов, площадь произвольного — по формуле S = ½ · a · h^[2]. Задания «вычислите периметр и площадь фигуры, изображённой на рисунке» в этом возрасте уже требуют разбиения.

Похожие задачи входят в демоверсии ВПР по математике для 4, 5 и 6 классов^[7]. Если пробелы тянутся с начальной школы, помогает не новая формула, а системное повторение темы — например, по программе онлайн-школы с аттестацией по ФГОС.

Миф «тема периметра и площади полностью проходится в 7 классе» не соответствует действующей программе: площади параллелограмма, треугольника и трапеции отнесены к 8 классу геометрии, а в 7 классе изучаются многоугольники и подготовительные понятия^[4].

Периметр и площадь на ОГЭ: типы заданий и как решать

На ОГЭ по математике периметр и площадь проверяют блоком «Геометрия на клетчатой бумаге» — задания № 17–19 структуры КИМ. Так их описывает спецификация КИМ ОГЭ по математике на 2026 год^[5].

Встречаются три типа. Фигура нарисована на клетчатой бумаге без подписанных размеров — считают клетки. Многоугольник задан координатами вершин — стороны восстанавливают по сетке. Фигура составная — работает разбиение на прямоугольники и треугольники.

Для многоугольника с вершинами в узлах сетки удобна формула Пика: S = В + Г/2 − 1, где В — число внутренних узлов, Г — число узлов на границе^[6]. Формула применима только при вершинах в узлах: вершина вне узла даёт неверный ответ^[6].

Задания на площадь относятся к модулю «Геометрия», а порядок проведения ГИА-9 и спецификация КИМ требуют результата по этому модулю: без минимального числа выполненных геометрических заданий экзамен не засчитывается^[5]. Сама итоговая аттестация обязательна по Федеральному закону № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

Частые ошибки при вычислении периметра и площади

Ошибки в задачах на периметр и площадь повторяются: единицы, пропущенные стороны, формула без высоты. Каждую можно поймать до сдачи работы.

• Ответ в см вместо см². Площадь измеряется только в квадратных единицах — проверяйте, что вы считали: границу или поверхность^[1].
• Сложение разных единиц. Сторона 30 см и сторона 2 м в одну формулу не подставляются — сначала перевод^[1].
• Пропущенная сторона составного контура. При обходе фигуры из прямоугольников теряются короткие отрезки выреза — сверьте результат с периметром описанного прямоугольника^[2].
• Формула S = ½ · a · b без прямого угла. Произведение двух сторон на два даёт площадь только у прямоугольного треугольника с катетами a и b; в остальных случаях нужна высота или синус угла^[2].
• Радиус описанной окружности в формуле S = p · r. Формула требует радиуса вписанной окружности, для описанной работает S = abc/(4R)^[2].

Онлайн-калькулятор периметра и площади фигур помогает проверить расчёт, но не заменяет его: подставьте сторону или радиус и сравните P и S со своим ответом. На контрольной и ВПР калькулятора нет, поэтому главный способ проверки — повторная подстановка в формулу и оценка порядка величины.

Когда формулы периметра и площади не работают напрямую

Формулы периметра и площади не работают, если фигура объёмная, контур разомкнут или размеры не заданы. Пять проверяемых условий, при которых нужен другой инструмент.

• Фигура объёмная — куб, параллелепипед, цилиндр. Формулы вида S = a · b к телу неприменимы: считаются площадь поверхности и объём^[2].
• Контур разомкнут — ломаная или дуга. Периметр не определён, измеряется длина линии^[2].
• Граница криволинейная, а радиус неизвестен — произвольное пятно на плане. Школьные формулы не дают ни P, ни S; применяют приближённый подсчёт клеток^[2].
• На рисунке нет размеров и нет сетки. Без измерений или дополнительных данных задача не решается — ищите подписанные величины в условии.
• Известен только периметр. Площадь по нему однозначно восстанавливается лишь у фигур с фиксированной формой: квадрата, равностороннего треугольника и круга^[2].

Частые вопросы

Как найти площадь и периметр неправильной фигуры?

Неправильную фигуру разбивают на простые части: 1) разделите её на прямоугольники и треугольники; 2) посчитайте площадь каждой части по формуле; 3) сложите результаты; 4) периметр получите обходом внешнего контура. Для фигуры с вершинами в узлах клетчатой сетки короче работает формула Пика^[6].

Можно ли найти площадь фигуры, зная только её периметр?

В общем случае нет: прямоугольники 1 × 9 см и 5 × 5 см имеют периметр 20 см и площади 9 см² и 25 см²^[2]. Площадь восстанавливается по периметру только у фигур фиксированной формы: квадрат (a = P/4, S = a²), равносторонний треугольник (a = P/3) и круг (радиус из длины окружности).

Как найти площадь фигуры по клеточкам без формулы?

Площадь по клеточкам считают подсчётом: целые клетки складывают, пары половинок объединяют в целую. Для многоугольника с вершинами в узлах сетки применяется формула Пика S = В + Г/2 − 1^[6]. Вершина вне узла делает формулу неприменимой.

В каких единицах записывать ответ, если стороны даны в разных единицах?

Приведите все линейные величины к одной единице до вычислений: прямое сложение сантиметров и метров даёт неверный ответ^[1]. Периметр записывается в выбранной линейной единице, площадь — в её квадрате: выбрали см — ответ в см и см².

Что будет, если записать площадь в сантиметрах вместо квадратных сантиметров?

Запись «S = 20 см» считается ошибочной: сантиметр измеряет длину, площадь измеряется в квадратных единицах^[1]. Числовая часть при этом может быть верной, но величина указана не та — проверяйте единицу перед тем, как сдать работу.

Какие формулы периметра и площади нужны в 7 классе геометрии?

В 7 классе нужны формулы прямоугольника и квадрата — P = 2(a + b), S = a · b, P = 4a, S = a² — и умение работать с составными фигурами^[2]. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции программа основного общего образования относит к 8 классу^[4].

Чем периметр многоугольника отличается от длины окружности?

Периметр многоугольника отличается от длины окружности тем, что складывается из отрезков-сторон, а длина окружности считается по формуле C = 2πr^[2]. Для круга длина окружности и есть его периметр, поэтому отдельной формулы сложения сторон здесь нет.

[1] Постановление Правительства РФ от 31.10.2009 № 879 «Об утверждении Положения о единицах величин, допускаемых к применению в Российской Федерации».

[2] Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования по математике для проведения ОГЭ, ФГБНУ «ФИПИ», 2025.

[3] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[4] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[5] Спецификация контрольных измерительных материалов ОГЭ по математике на 2026 год, ФГБНУ «ФИПИ», 2025.

[6] Открытый банк заданий ОГЭ по математике, раздел «Геометрия на клетчатой бумаге», ФГБНУ «ФИПИ», 2025.

[7] Описание и демонстрационные варианты ВПР по математике для 4, 5, 6 классов, ФГБНУ «ФИОКО» и Рособрнадзор, 2025.