Задачи на проценты: формулы, типы и разборы для 5–9 классов и ОГЭ

Татьяна Яснова

Пишу и редактирую материалы о школьном образовании, семейном обучении, поступлении и выборе образовательных программ. Стараюсь объяснять сложные вопросы простым и понятным языком, опираясь на актуальные нормативные документы и экспертные материалы.

Задать вопрос

Быстрый ответ: Задачи на проценты — это текстовые задачи на вычисление сотых частей числа для школьников 5–9 классов и выпускников, готовящихся к экзаменам. Один процент равен одной сотой части числа: 1% = 1/100 = 0,01^[1]. Все школьные задачи сводятся к трём формулам: процент от числа, число по его проценту и процентное отношение двух чисел. Тема входит в кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике^[2]. Отдельный подкласс — задачи на смеси, сплавы и растворы.

Ключевые факты: проценты в школьном курсе математики

• Что считает процент. Процент — это сотая часть числа, то есть доля величины, выраженная в сотых^[1].
• С какого класса начинается тема. Проценты системно вводятся в 5 классе в разделе «Дроби. Проценты» федеральной рабочей программы по математике^[3].
• Минус 20% не отменяет плюс 20%. Повторное изменение считается от новой базы, поэтому последовательные «+20%» и «−20%» дают 0,96 исходной величины^[4].
• Пропорция решает не всё. Пропорция работает только при линейной связи «часть — целое», а сложные проценты и смеси двух растворов требуют уравнения^[5].
• Порядок освоения. Определите тип задачи, выпишите известные величины, подставьте одну из трёх формул, проверьте ответ по смыслу условия.

Проценты — тема, на которой спотыкаются и шестиклассники, и выпускники. Требования к математической подготовке в основной школе задаёт ФГОС ООО, утверждённый приказом Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287^[1], а распределение темы по классам закреплено федеральной рабочей программой по математике^[3]. Причина сбоев почти всегда одна: ученик считает по памяти, не понимая, от какой величины берётся процент.

Разница между 5 и 9 классом не в формулах, а в числе действий. В 5 классе хватает одного умножения, в задаче ОГЭ про сплавы нужны табличная запись условия и уравнение.

Что такое процент и как перевести его в дробь

Один процент — это одна сотая часть числа, поэтому любой процент переводится в десятичную дробь делением на 100. Запись 1% = 1/100 = 0,01 закреплена требованиями ФГОС ООО к освоению раздела о дробях^[1]. Обратный перевод работает так же просто: десятичную дробь умножают на 100 и дописывают знак процента.

Связь процентов, долей и частей — ядро темы в 6 классе. «Четверть величины», «25%» и «0,25» — три записи одного и того же. Ученик, который видит это соответствие, перестаёт путаться в задачах на проценты и дроби.

Процент не ограничен сотней. Если величина выросла более чем вдвое, корректный ответ превышает 100%, и «обрезать» его до 100 — ошибка, которую фиксируют методические материалы предметных комиссий ОГЭ^[6].

Формулы для решения задач на проценты

Школьные задачи на проценты закрываются тремя формулами: процент от числа, число по проценту и процентное отношение. Их достаточно для всего курса 5–7 классов и для базового блока экзаменационных задач.

Три базовые формулы

1. Процент от числа: a = b · p / 100, где b — величина, p — процент^[7].
2. Число по его проценту: b = a · 100 / p, где a — известная часть^[8].
3. Процентное отношение: p = (a / b) · 100%, то есть какую долю a составляет от b^[8].

Универсальный обходной путь — пропорция. Записывают: целое соответствует 100%, часть — p%, и перемножают крест-накрест. Метод удобен тем, что не требует помнить три формулы отдельно.

Пропорция работает только там, где связь между частью и целым линейная. Задачи на сложные проценты и задачи с двумя сплавами неизвестной массы решаются уравнением или системой^[5]. Формула сложных процентов S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ в курсе 5–7 классов не используется и появляется только в задачах профильного ЕГЭ о вкладах и кредитах^[9].

Три основных типа задач на проценты с разбором

Тип задачи на проценты определяется по тому, какая из трёх величин неизвестна: часть, целое или процент. Распознавание типа занимает секунды и сразу подсказывает формулу.

Нахождение процента от числа

Известны целое и процент, требуется часть. Процент переводят в десятичную дробь и умножают на величину. Пример: куртка стоит 4000 рублей, скидка 15%. Размер скидки: 4000 · 0,15 = 600 рублей, цена со скидкой — 3400 рублей.

Нахождение числа по его проценту

Известны часть и процент, требуется целое. Часть делят на процент и умножают на 100. Пример: скидка составила 600 рублей и это 15% цены. Исходная цена: 600 · 100 / 15 = 4000 рублей.

Нахождение процентного отношения двух чисел

Даны две величины, а найти нужно процент. Первое число делят на второе и умножают на 100%. Пример: в классе 25 человек, 7 из них занимаются спортом. Их доля: 7 / 25 · 100% = 28%.

Не путать: процентное отношение — это отношение одной величины к другой, а не их разность. «На 5 человек больше» и «на 20% больше» описывают разные вещи.

Задачи на проценты для 5 и 6 класса с ответами

Задачи на проценты 6 класса строятся на тех же трёх формулах, но условие уже содержит две операции подряд. В 5 классе тема подаётся как продолжение дробей: проценты встречаются в разделе «Дроби. Проценты» федеральной рабочей программы^[3].

Задачи для самостоятельной работы по учебнику Виленкина и задания из ВПР устроены однотипно. Разберите пять типовых — и шестой класс закрыт.

1. В книге 300 страниц, прочитано 40%. Сколько страниц прочитано? Ответ: 120.
2. Цена товара 800 рублей выросла на 25%. Новая цена? Ответ: 1000 рублей.
3. Турист прошёл 12 км, это 30% маршрута. Длина маршрута? Ответ: 40 км.
4. В растворе 250 г воды и 50 г соли. Сколько процентов составляет соль? Ответ: 20%.
5. Товар стоил 1500 рублей, после скидки — 1200. На сколько процентов снизилась цена? Ответ: на 20%.

Учебники Виленкина, Мерзляка и Дорофеева включены в федеральный перечень учебников, утверждённый приказом Минпросвещения России от 21.09.2022 № 858^[10], поэтому задачи из них совпадают по типам с заданиями ВПР.

Тренажёр по математике для 6 класса полезен как счётная разминка: короткие однотипные задания закрепляют перевод процентов в дроби. Навык разбора условия он не формирует.

Задачи на проценты для 7 класса: пропорции и уравнения

В 7 классе задачи на проценты решаются через уравнение, потому что неизвестная величина входит в условие дважды. Углублённое изучение темы с пропорциями и уравнениями закреплено федеральными рабочими программами по математике и алгебре^[3].

Схема работы простая. Обозначьте неизвестную величину через x, выразите каждое процентное изменение множителем, приравняйте к данному в условии результату.

Пример. Цену повысили на 10%, потом снизили на 10%, итог — 1980 рублей. Составляем: x · 1,1 · 0,9 = 1980, значит x = 2000 рублей. Исходная цена выше итоговой — и это закономерность, а не ошибка счёта.

Задачи на проценты и части в 7 классе часто сводятся к одному уравнению с одной неизвестной. Если неизвестных две, добавляется второе условие и получается система.

Задачи на проценты, смеси и сплавы для ОГЭ и ЕГЭ

Задачи на проценты, смеси и сплавы входят в кодификатор ОГЭ по математике и встречаются как в части 1, так и в задачах с развёрнутым ответом. Принадлежность темы к экзаменационным требованиям фиксирует кодификатор ФИПИ 2026 года^[2]. В профильном ЕГЭ такие задачи стоят в текстовом блоке вместе с задачами на работу и движение^[9], а в базовом ЕГЭ — в практико-ориентированных заданиях^[11].

Как решать задачи на сплавы и растворы: метод таблицы

Таблица из трёх столбцов — масса раствора, концентрация, масса вещества — превращает запутанное условие в уравнение. В задачах на смеси складываются массы вещества, а не концентрации; нарушение этого правила даёт неверное уравнение^[12].

Уравнение собирается по последнему столбцу: масса вещества в смеси равна сумме масс вещества в компонентах. Дальше — обычная алгебра 7 класса.

Разбор задачи про сухофрукты (ОГЭ)

Задача про сухофрукты решается через массу сухого остатка, а не через концентрацию воды. Пример: свежие фрукты содержат 80% воды, сушёные — 20%. Из 10 кг свежих фруктов сухого остатка 20%, то есть 2 кг. В сушёных этот же остаток составляет 80%, значит масса сушёных фруктов равна 2 / 0,8 = 2,5 кг.

Никакого «сохранения концентрации воды» в этой задаче нет: концентрация как раз меняется, а неизменна только масса не-воды^[13]. Здесь и прячется главная ловушка условия.

Типичные ошибки в задачах на проценты и как их избежать

Ошибки в задачах на проценты связаны не со счётом, а с неверно выбранной базой — числом, от которого берётся процент. Четыре промаха повторяются чаще остальных.

⚠️ Ошибка 1. Процент считают от новой цены, а не от исходной. Если товар подорожал с 1000 до 1200 рублей, рост составляет 20% от исходной цены. Делить 200 на 1200 — значит отвечать на другой вопрос.

⚠️ Ошибка 2. «+20% и −20% дают исходную величину». Неверно: 1,2 · 0,8 = 0,96, то есть величина уменьшается на 4%^[4]. Второй процент берётся от новой базы.

⚠️ Ошибка 3. Проценты складывают напрямую. Последовательные 10% и 15% не дают 25% от исходной величины. Складывать проценты можно только тогда, когда они взяты от одной и той же базы^[8].

⚠️ Ошибка 4. Процентное отношение подменяют абсолютной разностью. «Выросло на 15 единиц» не равно «выросло на 15%»: без знания целого процент не определён.

Отдельная история — процентные пункты. Согласно глоссарию Банка России, процентный пункт — абсолютная разность двух процентных величин, и подмена пунктов процентами искажает результат в разы^[14].

Где проценты встречаются в жизни: скидки, вклады, налоги

Проценты — одна из немногих школьных тем, которой взрослые пользуются почти ежедневно: в магазине, в банке, при расчёте налогов. Удобный аргумент для ребёнка, который не видит в теме смысла.

Скидки и наценки — чистый первый тип задач: цена умножается на множитель вида 0,85 или 1,2. Две скидки подряд считаются перемножением множителей, а не сложением процентов.

Банковские вклады и кредиты работают на сложном проценте: доход начисляется на сумму вместе с ранее начисленными процентами. Налоговые расчёты — снова процент от величины, только базой выступает доход или стоимость.

Покажите это ребёнку на чеке из магазина. Один разобранный чек даёт больше, чем страница однотипных примеров.

Когда онлайн-тренажёр по процентам не заменит учебник

Онлайн-тренажёр по процентам тренирует скорость счёта, но не формирует навык оформления решения по критериям экзамена. Ниже — четыре проверяемых условия, при которых тренажёр не подходит.

Тренажёр не подходит, если ребёнок не может сформулировать определение процента: прокликивание ответов закрепит угадывание вместо правила. Сначала нужны учебник и разбор с объяснением, потом практика.

Второй случай — пробелы в дробях. Перевод 7/8 в проценты без уверенного деления не получится, и одна и та же ошибка будет повторяться на каждой задаче.

Для заданий ОГЭ с развёрнутым ответом тренажёр тоже бесполезен. Экзамен проходит в пункте проведения по регламенту, утверждённому приказом Минпросвещения России и Рособрнадзора от 04.04.2023 № 232/551^[15], а решение оценивается по записанной логике. Автопроверка ответа этот навык не формирует^[6].

Последнее условие — ошибки повторяются из раза в раз: сигнал непонятого правила, а не недостатка практики. Здесь нужен человек, который разберёт ход рассуждения. Если школьная программа идёт мимо ребёнка и нужна системная поддержка по математике, помогает формат онлайн-школы с полным учебным сопровождением.

Частые вопросы

Можно ли решать все задачи на проценты через пропорцию?

Нет: пропорция решает только задачи с линейной связью «часть — целое». Задачи на сложные проценты и на смешивание двух растворов с неизвестными массами требуют уравнения или системы уравнений^[5].

В каком классе начинают изучать проценты?

Проценты системно вводятся в 5 классе в разделе «Дроби. Проценты» федеральной рабочей программы по математике^[3]. В 6 классе тема расширяется до пропорций, в 7 классе задачи решаются через уравнения в курсе алгебры^[3].

Что такое процентные пункты и чем они отличаются от процентов?

Процентный пункт — абсолютная разность двух процентных величин, согласно глоссарию Банка России^[14]. Рост ставки с 10% до 12% — это плюс 2 процентных пункта и одновременно плюс 20% относительного роста.

Как решать задачи на проценты в 9 классе на ОГЭ?

Определите тип задачи, запишите условие таблицей «масса — концентрация — масса вещества» и составьте уравнение по сумме масс вещества^[12]. Задачи на проценты входят в кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике^[2].

Может ли ответ в задаче на проценты быть больше 100?

Да: если величина увеличилась более чем вдвое, процентное отношение превышает 100%. «Обрезание» ответа до 100% считается ошибкой^[6].

Что будет, если не научиться оформлять решение на бумаге?

Если решение не записано, задача части 2 ОГЭ не будет зачтена полностью: оценивается ход рассуждения, а не только итоговое число^[6]. Регламент проведения экзамена утверждён приказом Минпросвещения России и Рособрнадзора от 04.04.2023 № 232/551^[15].

Где взять задачи на проценты, совпадающие с экзаменом?

Задачи берут из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ и демонстрационных вариантов^[2]. Для профильного ЕГЭ ориентиром служит демонстрационный вариант и спецификация КИМ^[9].

[1] Приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования» (в действующей редакции).

[2] Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения ООП ООО для проведения ОГЭ по математике, ФИПИ, 2026.

[3] Федеральная рабочая программа основного общего образования «Математика» (базовый уровень), одобрена решением ФУМО по общему образованию, протокол от 25.08.2022 № 5/22.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс: учебник. М.: Просвещение, 2023.

[5] Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс: учебник. М.: Просвещение / Вентана-Граф, 2023.

[6] Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом ОГЭ по математике, ФИПИ, 2024–2025.

[7] Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика. 5 класс: учебник. М.: Просвещение, 2023.

[8] Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика. 6 класс: учебник. М.: Просвещение, 2023.

[9] Спецификация и демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня, ФИПИ, 2026.

[10] Приказ Минпросвещения России от 21.09.2022 № 858 «Об утверждении федерального перечня учебников…» (с изменениями).

[11] Спецификация и демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ по математике базового уровня, ФИПИ, 2026.

[12] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ 2025. Математика: типовые экзаменационные варианты. М.: Национальное образование, 2025.

[13] Открытый банк заданий ОГЭ по математике, ФИПИ, 2025.

[14] Глоссарий Банка России, статья «Процентный пункт» (действующая редакция).

[15] Приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 04.04.2023 № 232/551 «Об утверждении Порядка проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования» (действующая редакция).