Биквадратные уравнения. Алгоритм решения

Общий вид биквадратного уравнения имеет вид:

ax⁴ + bx² + c = 0,

где a, b и c – коэффициенты уравнения.

Алгоритм решения. Метод введения новой переменной

Для решения биквадратного уравнения введем новую переменную, например, y = x².

Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно y:

ay² + by + c = 0.

Решив это квадратное уравнение относительно y, найдем значения y, а затем и значения x. Они будут корнями исходного биквадратного уравнения.

Рассмотрим пример биквадратного уравнения: x⁴ — 5x² + 4 = 0. Введем новую переменную y = x², тогда уравнение примет вид: y² — 5y + 4 = 0.

Решим это квадратное уравнение относительно y:

y₁ = 4,

y₂ = 1.

Значения y₁ и y₂ являются корнями квадратного уравнения, а значит, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня: x₁ = √4 = 2, x₂ = -2, x₃ = √1 = 1 и x₄ = -1.

Еще один пример биквадратного уравнения: 2x⁴ — 6x² + 4 = 0. Введем новую переменную y = x², тогда уравнение примет вид: 2y² — 6y + 4 = 0.

Решим это квадратное уравнение относительно y:

y₁ = 1 + √3,

y₂ = 1 — √3.

Значения y₁ и y₂ являются корнями квадратного уравнения, а значит, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня: x₁ = √(1 + √3), x₂ = -√(1 + √3), x₃ = √(1 — √3) и x₄ = -√(1 — √3).

Биквадратные уравнения могут иметь как действительные, так и комплексные корни.

Действительные и комплексные корни

Действительные и комплексные корни в биквадратных уравнениях – это значения переменной, удовлетворяющие уравнению и являющиеся действительными или комплексными числами.

Найти действительные корни биквадратного уравнения также реально по формуле Кардано-Феррари:

x^2 = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a

Комплексные корни – это значения переменной, которые являются комплексными числами. В биквадратном уравнении может быть два комплексных корня.