Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители

Формула

Формула для нахождения корней квадратного трехчлена называется формулой квадратного корня.

Если уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, то корни можно найти по формуле:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Здесь √ обозначает знак квадратного корня. Если под знаком корня находится отрицательное число, то уравнение не имеет действительных корней.

Разложение на множители

Разложение квадратного трехчлена на множители – это представление квадратного трехчлена в виде произведения двух линейных множителей. Если квадратный трехчлен имеет вид ax² + bx + c, то его можно разложить на множители в виде (mx + n)(px + q), где m, n, p и q – коэффициенты, которые нужно найти.

Существуют различные методы для нахождения этих коэффициентов. Один из таких способов исследования – метод группировки. Он заключается в том, что нужно разложить линейный член bx на два таких числа, чтобы при перемножении получился последний член c. Затем нужно сгруппировать первые два члена и последние два члена и вынести общий множитель. В результате получится выражение вида (mx + n)(px + q).

Если квадратный трехчлен имеет действительные корни, то его можно разложить на множители следующим образом:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

где x₁ и x₂ – корни уравнения ax² + bx + c = 0, найденные по формуле Квадратного корня.

Применение

Методом разложения квадратного трехчлена на множители решаются квадратные уравнения. Когда квадратный трехчлен раскладывается на множители, уравнение преобразовывается в произведение двух линейных множителей равным нулю. Таким образом, уравнение сводится к двум линейным уравнениям, которые решаются с помощью элементарных методов.

Еще одним примером применения разложения квадратного трехчлена на множители является нахождение вершин и осей симметрии параболы. Квадратный трехчлен записываем в виде a(x – h)² + k, где (h, k) – координаты вершины параболы. Коэффициент a определяет открытость параболы, а ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна оси x.

Также методом разложения на множители решаются задачи на максимум и минимум функции. В этом случае необходимо найти максимальное или минимальное значение функции, которое достигается в определенной точке. Эту точку находим, используя координаты вершины параболы, которая является графиком квадратного трехчлена.