Дробные рациональные уравнения. Решение введением вспомогательной переменной

Один из таких методов – это введение вспомогательной переменной. Его суть заключается в том, чтобы заменить дроби с переменными в знаменателе на выражения с помощью новой переменной. Это позволяет привести уравнение к виду, в котором все дроби имеют общий знаменатель.

Примеры уравнений. Алгоритм решения.

Рассмотрим несколько примеров.

Дано уравнение:

(2x-1)/(x+3) + (x+2)/(x-1) = 1

Сначала необходимо получить общий знаменатель.

Для этого можно воспользоваться произведением знаменателей:

(x+3)(x-1)

Затем заменим каждую дробь на выражение с помощью вспомогательной переменной.

Обозначим эту переменную как t:

(2x-1)/(x+3) = t/(x+3)(x-1)

(x+2)/(x-1) = (1-t)/(x+3)(x-1)

После замены получаем новое уравнение:

t/(x+3)(x-1) + (1-t)/(x+3)(x-1) = 1

Общий знаменатель позволяет сложить дроби в одну:

t + (1-t) = (x+3)(x-1)

После преобразований получаем квадратное уравнение:

x^2 + 2x – 4 = 0

Решив его, получаем два корня:

x1 = -3.73

x2 = 1.73

Рассмотрим еще один пример.

Решим уравнение:

(2x – 1) / (x – 3) – (x + 4) / (x + 1) = 1

Введем вспомогательную переменную y = x – 3:

(2(y + 2) – 1) / y – (y + 1) / (y + 4) = 1

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(2y + 3) / y – (y + 1) / (y + 4) = 1

Найдем общий знаменатель:

(2y + 3)(y + 4) / y(y + 4) – y(y + 3) / y(y + 4) = y + 4

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2y^2 + 11y + 12 – y^2 – 3y = y^2 + 4y + 4

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

y^2 + 2y – 4 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = b^2 – 4ac = 2^2 – 4*1*(-4) = 20

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-2 + 2sqrt(5)) / 2 = -1 + sqrt(5)

y2 = (-b – sqrt(D)) / (2a) = (-2 – 2sqrt(5)) / 2 = -1 – sqrt(5)

Подставим значения y1 и y2 в выражение для x:

x1 = y1 + 3 = 2 + sqrt(5)

x2 = y2 + 3 = 2 – sqrt(5)

Ответ: x1 = 2 + sqrt(5), x2 = 2 – sqrt(5)

Как проверить корни на допустимость?

Проверка корней на допустимость в алгебре является важной частью решения уравнений, особенно в случае дробных рациональных уравнений и уравнений, которые содержат радикалы.

Проверка корней на допустимость заключается в том, чтобы убедиться, что значения переменной, полученные в результате решения уравнения, не приводят к нарушению условий самого уравнения.

Например, если уравнение содержит дробь, имеющую знаменатель, равный нулю, то корень, который приводит к этому значению знаменателя, недопустим. Это связано с тем, что деление на ноль не имеет смысла, собственно, такие значения переменной не могут быть допустимыми решениями уравнения.

В нашем случае корень x1 = -3.73 не является допустимым, так как при подстановке в исходное уравнение получаем деление на ноль. Корень x2 = 1.73 является допустимым, и является решением исходного уравнения.