Главная » Элементы статистики. Дисперсия и средне квадратичное отклонение.

Элементы статистики. Дисперсия и средне квадратичное отклонение.

Статистика — точная наука.

Часто в процессе проведения экспериментов возникает необходимость проведения анализа полученных результатов исследований. Возникает вопрос разброса данных в числовом ряду.

Размах ряда чисел — разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда как статический показатель во многих случаях не подходит, так как дает грубую оценку.

Представлен ряд чисел:

4;8; 12; 7; 16; 13 — представлен ряд чисел.

Найдем среднее арифметическое этого ряда:

4+8+12+7+16+13/6=10

4-10-=-6;

8-10=-2;

12-10-=2;

7-10=-3

16-10=6 — это отклонения членов ряда.

(-6)+(-2)+2+(-3)+6+3=0 сумма отклонений равна нулю

Данный показатель не может характеризовать разброс чисел, так как для любого ряда он будет равен нулю.

Другой статистический показатель — дисперсия.

Дисперсия ряда чисел — среднее арифметическое квадратов из отклонений от среднего арифметического этого ряда.

(-6)+(-2)+2+(-3)+6+3=0 — сумма отклонений равна нулю

(-6)²+(-2)²+2²+(-3)²+6²+3²

(-6)²+(-2)²+2²+(-3)²+6²+3²/6~16

Дисперсия рассматриваемого ряда равна 16.

Задача.

Спортсмены проводили подготовку к соревнованиям по стрельбе из лука. Оба спортсмена произвели по 7 серий выстрелов. Каждая серия состояла из 12 выстрелов. По итогам каждой серии выстрелов подведены результаты попадания в цель.

Получили следующие данные:

Спортсмен 1: 11,11,12,11,9,11,12

Спортсмен 2: 12,10,9,12,11,12,11

Кто лучше готов к соревнованиям?

Найдем среднее арифметическое для каждого спортсмена:

Спортсмен 1:

11+11+12+11+9+11+12/7=77/7=11

Спортсмен 2:

12+10+9+12+11+12+11=77/7=11

Вычислим дисперсию для каждого спортсмена:

Спортсмен 1:

(11-11)²+(11-11)²+(12-11)²+(11-11)²+(9-11)²+(11-11)²+(12-11)²=0+0+1+0+4+0+1:7=0,86

Спортсмен 2:

(12-11)²+(10-11)²+(9-11)²+(12-11)²+(11-11)²+(12-11)²+(11-11)²=1+1+4+1+0+1+0/7=1,14

Обратим внимание на полученные результаты. Разброс данных у первого спортсмена меньше, это значит что он лучше подготовился. Он показал более стабильный результат.

Используя в своих расчётах в качестве статистической характеристики дисперсию, важно помнить следующее:

Правило. Дисперсия обычно не велика, если при большом числе данных есть всего лишь несколько из них, которые значительно отличаются от среднеарифметического этого ряда.

Правило. Дисперсия измеряется в квадратах единиц, если исследуемые величины измеряются в каких-либо линейных единицах измерения (килограммах, часах, метрах и т.д).

Из-за приведённых выше особенностей дисперсию часто заменяют средним квадратичным отклонением.

Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение числового ряда — квадратный корень из дисперсии этого ряда.

Например:

Первый спортсмен -√0,86

Второй спортсмен -√1,14

Среднее квадратичное отклонение обозначается буквой греческого алфавита — (сигма) .

1=√0,86=0,9

2=√1,14~1,1

Вы видите, что иногда числа могут быть округлены для большей точности. А так как статистика наука точная и не терпит приблизительности, округление становится практически необходимым.

Из истории округления

Впервые округление появилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. В Древнем Вавилоне на глиняных табличках мы можем заметить округление. А в Древнем Египте на двух папирусах, которые были написаны между 2000 и 1700 годах до н.э. Это были таблицы обратных чисел, которые используются при делении и других более сложных операциях.

Понятно, что без понятия округления такое составление таблиц было бы проблематичным. Поэтому считается, что ещё в то время было положено начало операции округления.

Постепенно операция округления развивалась и дошла в таком виде, который мы имеем сейчас.

Бесконечные десятичные дроби

Такие бесконечные десятичные дроби не сразу прижились в математике. В Европе они появились относительно недавно — в печатных и рукописных изданиях в 1603 году. Это произошло в книге «Десятичный счёт» английского астронома и юриста Иоганна Вайера, а дальше развил эту тему другой английский математик и священник — Джон Уоллис.

Уоллис издал трактат по алгебре в 1685 году, где Джон развивал учение Виета по алгебре. Уоллис был священником потому, что не получил системного математического образования. Однако его феноменальные математические способности в том числе в счете удивляли всех — однажды он извлёк квадратный корень из 53-цифрового числа устно. Он до конца жизни возглавлял кафедру геометрии в одном из университетов.

Те правила, которыми мы пользуемся при округлении чисел изобрёл ещё Карл Фридрих Гаусс, знаменитый немецкий математик, живший в 18-18 веках. До сих пор эти правила существуют без изменения.

Обратите внимание. Однако округление получило второе дыхание при изобретении компьютеров и других вычислительных цифровых систем. Бесконечные периодические дроби не могут быть обработаны компьютерами, так как они могут обработать лишь конечное число знаков после запятой. Здесь ученые создали сложные алгоритмы, чтобы компьютеры могли обрабатывать бесконечные периодические дроби.

Без знаний десятичных периодичных дробей не было бы и современной вычислительной техники.

Вывод. Изучение дисперсии и среднеквадратичного отклонения является бесспорно важной темой, которая может пригодиться при решении соответствующих задач.