Функции вида y=k/x

Решение задач с помощью графиков зависимостей родилось ещё в древние времена. Ещё вавилоняне, греки и индейцы составляли различные астрономические таблицы, которые были нужны для составления календарей, определения времени.

Эти таблицы показывали взаимозависимость одних величин от других. Геродот Галикарнаксский, живший в 5 веке до н.э. в своей «Истории» описал несколько зависимостей.

В частности была такая зависимость: древнеегипетские фараоны, разделив между египтянами участки земли, брали из них налог, который был пропорционален площади занимаемого участка.

Марка Туллия Цицерон, знаменитый философ, политик и учёный, оценил вклад Геродота и назвал его отцом истории.

О графическом изображении зависимостей задумывались ещё математики древней Александрийской ученой школы. Древний Египет в то время – центр исторически мысли.

А продолжил это Рене Декарт и Пьер Деферма, которые описали прямоугольную систему координат. Прямоугольную плоскость, которой мы пользуемся до сих пор. Им удалось показать зависимость одних величин от других путём создания точек на плоскости.

Функции вида y=k/x

Функция вида y=k/x, где k не равно 0 называется обратной пропорциональностью

При х=0 данная функция неопределёна, так как на ноль делить нельзя.

Пример:

y=2/x, где х не равно нулю

Алгоритм построения графика:

Построим таблицу для первой ветви:

х        1/2    1        2        4

у        4        2        1        1/2

Создадим таблицу для второй ветви:

х        -1/2   -1       -2       -4

у        -4       -2       -1       -1/2

По значениям построим график

Гипербола выглядит похожей на параболу, поскольку также обладает симметрией.

Обратите внимание. Любая прямая, проходящая через нуль координат пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат по разные стороны от нуля координат, однако на равном расстоянии до точки.

Гипербола состоит из двух симметричных частей.

Каждая ветвь гиперболы в одном направлении проходит все ближе к оси абсцисс, а в другом приближается к оси ординат.

В других случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и ось симметрии.

Свойства функции y=k/x если k<0

1. Область определения функции состоит из всех чисел кроме х=0
2. у>0 при х<0; у<0 если х>0
3. Функция возрастает на промежутках (-∞; 0) и (0;+∞)
4. Функция не имеет ограничений ни снизу ни сверху.
5. У функции, в отличии от параболы, нет ни наименьшего ни наибольшего значения.
6. Функция непрерывно на промежутках (-∞; 0) и (0;+∞) и претерпевает разрыв при х=0
7. Область значения функции – объединение двух открытых лучей (-∞; 0) U (0;+∞)

Свойства функции при k>0

1. Область определения функции состоит из всех чисел кроме х=0
2. у>0 при х>0; у<0 при х<0
3. Функция убывает на промежутках (-∞; 0) и (0;+∞)
4. Функция ничем не ограничена ни снизу ни сверху.
5. Функция не имеет ни наименьшего ни наибольшего значений.
6. Функция непрерывна на промежутках (-∞; 0) и (0; +∞) и претерпевает разрыв при х=0
7. Область значений функции – объединение двух открытых лучей (-∞; 0) (0;+∞)

Построение гиперболы является таким же базовым навыком как и построение параболы. Этот навык будет важен для подготовки к экзамену по математике.