Функции вида y=kx, y=F(x+L)+M

Известный истории прорыв в математическом разделе уравнений случился только к концу первого тысячелетия, когда учёный из Багдада Мухаммед Бен Муса аль-Хорезми написал трактат «Китаю аль-джебр Валь-Мукабала».

Имя известного математика в латинском написании – algorithmi породило термин алгоритм. Алгоритм – выполнение последовательности определенных действий.

Эта книга оставалась главной вплоть до 16 века и появления Франсуа Виета (годы жизни – 1540-1603 гг.), который называл искусством запись и решение уравнений. Именно Виет ввёл  буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов в уравнении.

Он использовал знаки: +,- и дробную черту. Виет заменил умножение предлогом в. То есть если складывается число – значит к нему прибавляют другое число, а если умножают то в какое-то количество раз. Вместо скобок Виет (а+b) Виет использовал черту над а+b.

Это продолжил развивать Томас Гарриот, который ввёл знаки неравенств объясняя это тем, что если величины равны, то отрезки не должны быть равны, к должны пересекаться слева и справа.

Функции виды y=kx, y=F(x+L)+M

Наибольший вклад внёс французский математик Рене Декарт, который ввёл для неизвестных переменных буквы x, y и z.

Функция у=kx² – квадратичная. Она кажется нам знакомой: если взять k за единицу, то получается функция y=x² (парабола).

Рассмотрим две функции: у=2х²

Составим таблицу:

Далее вы строите на координатной плоскости точки: (0;х), (1;2), (-1;2), (2;8), (-2;8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5)

Получается парабола

Составляем таблицу значений для функции: у=0,5х²

х = 1; у=0,5

х=-1; у=0,5

х=2;  у=2

х=-2; у=2

х=3; у=4,5

х=-3; у=4,5

Далее строим точки с координатами: (1;0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5) и получаем параболу.

От величины такого коэффициента k может зависить скорость устремления ветвей параболы вверх, или, как ещё говорят «степень крутизны» параболы.

Графиком функции y=kx², где k не равно нулю, является парабола с вершиной в начале координат. Ось является особ параболы, ветви параболы направлены вверх при k>0 и вниз при k<0

Свойства функции y=kx² при k>0

До любого значения х по формуле у=kx² можно вычислить соответствующее значение у. Функция определена в любой точке х (при любом значении аргумента х). D(f)=(-7;+∞)

y=0 при х=0; у>0 при х не равное нулю.

у=kx²- непрерывная функция

у(наим.)=0 ( достигается при х=0); у(наиб.) не существует.

Функция у=kx² (k>0) ограничена снизу и не ограничена сверху.

Функция у=kx² возрастает при х>-0 и убывает при х-<0.

Область значений функции у=kx² (k>0) – луч [0; +∞)

Функция выпукла вниз.

Функция вида:

у=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x).

Алгоритм 1:

Построить график функции y=f(x)

Осуществить параллельный перенос графика у=f(x) вдолт оси х на |l| единиц масштаба влево, если l>0 и вправо, если l<0.

Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси у на |m| единиц масштаба вверх, если m>0, и вниз, если m<0.

Алгоритм 2

Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые x=-l, y=m, т.е выбрав в качестве начала новой системы координат точку (-l; m).

К новой системе координат привязать график функции у=f(x).

В этом уроке мы рассмотрели тему различных функций, построение графиков которых поможет вам лучше подготовиться к экзаменам, а также решать такие задачи и выражения без особых затруднений, так как мы разобрали два алгоритма для различных ситуаций.