Графическое решение квадратных уравнений

Определение. Квадратные уравнения — уравнения вида aх²+bx+c=0, причём а не равно нулю.

Обратите внимание. Решение задач с помощью графиков зависимостей родилось ещё в древние времена. Ещё вавилоняне, греки и индейцы составляли различные астрономические таблицы, которые были нужны для составления календарей, определения времени.

Эти таблицы показывали взаимозависимость одних величин от других. Геродот Галикарнаксский, живший в 5 веке до н.э. в своей «Истории» описал несколько зависимостей.

В частности была такая зависимость: древнеегипетские фараоны, разделив между египтянами участки земли, брали из них налог, который был пропорционален площади занимаемого участка.

Важно знать. О графическом изображении зависимостей задумывались ещё математики древней Александрийской ученой школы. Древний Египет в то время — центр исторически мысли.

Запишем пример:

Дано квадрантное уравнение

х²-2х-3=0

Точка пересечения данных графиков — решения системы уравнений данной функции.

В правой части — парабола, в левой функция y=0, то есть прямая, проходящая через начало координат.

https://images.app.goo.gl/N2ADSU3oWfoFG66ZA

{y=x²-2x-3

{y=0

Запомните. Путём построения данных графиков и поиска точек пересечения мы найдём решение.

Сначала преобразуем выражение в удобное:

y=x²-2x+1-4

{y=(x-1)²-4

{y=0

Переносим два одночлена в правую сторону.

х²=2х+3

В левой части это — парабола, в правой — прямая.

Существует 5 способов графического решения квадратных уравнений.

Правило. Первый способ:

  1. Строим график функции у=ах²+bx+c.
  1. Найти точки пересечения графика функции с осью ОХ (абсцисс).

Второй способ:

  1. Преобразовать уравнение к виду ax²=-bx-c.
  1. Построить параболу у=ах²
  1. Построить прямую у=-bx-c.
  1. Найти точки пересечения параболы и прямой. Абсциссы которых и служат корнями уравнения.

Третий способ:

  1. Преобразовать уравнение к виду ax²+c=-bx.
  1. Построить параболу у=ах²+с.
  1. Построить прямую y=-bx, которая проходит через начало координат.
  1. Найти точки пересечения параболы и прямой.

Четвёртый способ:

  1. Применяя метод выделения полного квадрата преобразовать уравнение к виду а(х+l)²+m=0
  1. Далее — а(х+l)²=-m
  1. Построить параболу функции y=a(c+l)² и прямую у=-m, параллельную оси х.
  1. Найти точки пересечения параболы и прямой.

Пятый способ:

  1. Преобразовать уравнение к виду ах²/х+bx/x+c/x=0

То есть ах+b+c/x=0

с/х=-ах-b

  1. Построить гиперболу c/x при условии, что с не равно нулю
  1. Построить прямую у=-ах-b
  1. Найти точки пересечения параболы и прямой.

Важно знать. Первые 4 способы применимы к любым квадратным уравнениям, а пятые только к тем способам, в которых свободный член с не равен нулю.

Обратите внимание. Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет.

Необходимо всегда искать наиболее оптимальный путь решения задачи.

Вывод. Способ решения графически существует множество, однако не каждый из них может подойти под конкретное уравнение, вот почему важно в начале провести анализ уравнения, расписать его члены, а только потом выбрать наиболее удобоваримый способ решения.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх