Квадратичная функция

Квадратные уравнения решали в Индии, и в древнем Вавилоне. Математики античной Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях.

Обратите внимание. Итальянские математики Джероламо Кардано, Николо Тарталья, Себастьяно Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Рене Жирара, Рене Декарта, Исаака Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

В «Книге абака» впервые были истолкованы формулы решения квадратных уравнений в Европе итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Франсуа Виета.

Функцией называют зависимость «у» от «х».

х — переменная или аргумент функции

у — зависимая переменная или значение функции

Важно знать. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Значение переменной однозначно определяет значение выражения.

Квадратичной функцией называется выражение вида: y=ax +bх+c при условии, что а не равно нулю. а,b и с — заданные числа.

Например:

  1. y=37х²-20х+9

Коэффициенты:

а=37

b=-20

c=9

  1. y=3x²-1

a=3; b=0; c=-1

  1. y=-3x²+2x

a=-3

b=2

c=0

Парабола — график квадратичной функции.

Запомните. Если а>0, то ветви направлены вверх. Если а<0, то ветви направлены вниз.

Чтобы найти х0 (координату вершины оси ОХ) необходимо использование формулы:

х0=-b/2a

Определение. Нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Название нули функции получили из-за того, что у этих точек координаты по оси ОУ=0

Важно знать. Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить у=0

Пример:

  1. y=2x²-4x+1

Ветви параболы направлены вверх, так как а=2 и 2>0

В начале необходимо найти координаты вершин параболы:

Обратите внимание. Вершина параболы — точка. Эта точка имеет две координаты — по оси ОХ (горизонталь) и по оси ОУ (вертикаль).

хв=-b/2a=-(-4)/4=4/4=1

Для того, чтобы найти координату у вершины, необходимо подставить найденное х в исходное выражение.

ув=2-4+1=-1

Координата вершины параболы (1;-1)

Парабола состоит из двух симметричных ветвей. Осью симметрии является прямая х=1

Для построения графика параболы необходимо найти несколько дополнительных точек:

Дополнительные точки:

х 0 -1

у 1 7

Другой пример:

2)y=-x²+6x-5

a=-1<0

  1. Находим координаты вершины параболы:

хв=-b/2a=-6/-2=3

yв=-9+18-5=4

(3;4) — вершина параболы

  1. Находим ост симметрии:

х=3 — ось симметрии

  1. Дополнительные точки:

х 0 1 2

у -5 0 3

Второй способ построения графика квадратичной функции (на основе свойств или по 5 точкам).

  1. Найти координаты вершины параболы (m;n) и отметить ее на координатной плоскости
  1. Построить ось симметрии — прямую х=m
  1. Построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе. Можно найти нули квадратичной функции по формуле: х1,2=-b+-√b²-4ac/2a
  1. Составить таблицу значений функции (достаточно для двух точек). В качестве абсцисс (оси ОХ) взять значения от х=m
  1. Соединить 5 полученных точек главной линией.

Важно знать. Алгебру ценили как древние так и современные математики. Выдающийся геометр, творец неевклидовой геометрии, русский математик Николай Лобачевский говорил «Только с алгебры начинается строгое математическое учение».

Вывод. Решение квадратных уравнений необходимо для успешной подготовки к экзамену в 11 классе, а также для построения графика параболы.

Домашнее задание:

Найти коэффициенты а, b и с в следующих уравнениях:

  1. у=10x²-6x+4
  1. у=x²+16
  1. у=8x²+5x

Найти вершины парабол и нули функции у уравнений:

  1. у=7х²-4х+1
  1. у=15х²-3
  1. y=25x²+21x+3

Построить параболы по заданным функциям:

  1. у=х²-7х+2
  1. у=3х²+11х-10
  1. у=8х²-14х+5
Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх