Квадратичная функция

Квадратные уравнения решали в Индии, и в древнем Вавилоне. Математики античной Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях.

Итальянские математики Джероламо Кардано, Николо Тарталья, Себастьяно Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Рене Жирара, Рене Декарта, Исаака Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

В «Книге абака» впервые были истолкованы формулы решения квадратных уравнений в Европе итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Франсуа Виета.

Функцией называют зависимость «у» от «х».

х – переменная или аргумент функции

у – зависимая переменная или значение функции

Квадратичной функцией называется выражение вида: y=ax +bх+c при условии, что а не равно нулю. а,b и с – заданные числа.

Например:

• y=37х²-20х+9

Коэффициенты:

а=37

b=-20

c=9

• y=3x²-1

a=3; b=0; c=-1

• y=-3x²+2x

a=-3

b=2

c=0

Парабола – график квадратичной функции

Если а>0, то ветви направлены вверх. Если а<0, то ветви направлены вниз.

Чтобы найти х0 (координату вершины оси ОХ) необходимо использование формулы:

х0=-b/2a

Название нули функции получили из-за того, что у этих точек координаты по оси ОУ=0

Пример:

• y=2x²-4x+1

Ветви параболы направлены вверх, так как а=2 и 2>0

В начале необходимо найти координаты вершин параболы:

Вершина параболы – точка. Эта точка имеет две координаты – по оси ОХ (горизонталь) и по оси ОУ (вертикаль).

хв=-b/2a=-(-4)/4=4/4=1

Для того, чтобы найти координату у вершины, необходимо подставить найденное х в исходное выражение.

ув=2-4+1=-1

Координата вершины параболы

Парабола состоит из двух симметричных ветвей. Осью симметрии является прямая х=1

Для построения графика параболы необходимо найти несколько дополнительных точек:

Дополнительные точки:

х 0 -1

у 1 7

Другой пример:

y=-x²+6x-5

a=-1<0

Находим координаты вершины параболы:

хв=-b/2a=-6/-2=3

yв=-9+18-5=4

(3;4) – вершина параболы

Находим ост симметрии:

х=3 – ось симметрии

Дополнительные точки:

х 0 1 2

у -5 0 3

Второй способ построения графика квадратичной функции (на основе свойств или по 5 точкам).

1. Найти координаты вершины параболы (m;n) и отметить ее на координатной плоскости
2. Построить ось симметрии – прямую х=m
3. Построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе. Можно найти нули квадратичной функции по формуле: х1,2=-b+-√b²-4ac/2a
4. Составить таблицу значений функции (достаточно для двух точек). В качестве абсцисс (оси ОХ) взять значения от х=m
5. Соединить 5 полученных точек главной линией.

Решение квадратных уравнений необходимо для успешной подготовки к экзамену в 11 классе, а также для построения графика параболы.