Квадратные уравнения. Основные понятия

Прорыв в истории уравнений случился только к концу первого тысячелетие. Багдадский учёный Мухаммед Бен Муса аль-Хорезми написал трактат «Китаю аль-джебр Валь-Мукабала» (Книга о восстановлении и противопоставлении).

Слово аль-джебр стало прототипом названия алгебры. А имя ученого в латинском написании – algorithmi породило термин алгоритм. Алгоритм – выполнение последовательности определенных действий.

Эта книга была главной вплоть до 16 века. Франсуа Виет 1540-1603 гг.) называл искусством запись и решение уравнений. Главное, что он внёс это – буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов в уравнении. Он использовал знаки: +,- и — дробную черту. Виет заменил умножение предлогом «in» – в. Вместо скобок Виет (а+b) Виет использовал черту над а+b.

Это продолжил развивать Томас Гарриот, который ввёл знаки неравенств объясняя это тем, что если величины равны, то отрезки не должны быть равны, к должны пересекаться слева и справа.

Наибольший вклад внёс французский математик Рене Декарт, который ввёл для неизвестных переменных буквы x, y и z.

Алгоритм решение неполных квадратных уравнений:

1. В случае, когда уравнение имеет вид ах²=0, тогда оно имеет один корень х=0
2. Если уравнение имеет вид ах²+bx=0, то тогда используется метод разложения на множители: х(ах+b)=0, значит либо х=0, либо ах²+b=0. Тогда мы получаем два корня: х1=0; х1=-b/a
3. В ситуации, когда вид уравнения: ах²+с=0, то его приводят к виду ax²=-c и дальше х²=-с/а.

Когда -с/а – отрицательное число, уравнение х²=-с/а не имеет корней.

В случае, когда -с/а положительное число, то есть -с/а-=m, где m>0, уравнение х² имеет два корня: х1=√m

x2=-√m

Неполное квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня.

Квадратное уравнение ах²+bx+c=0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

Пример:

4х²-3х+1=0

а=4

b=-3

с=1

Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам:

х1=-b+√D/2a

х2=-b-√D/2a

D=b²-4ac

D называется дискриминантом. По значению дискриминанта можно определить количество корней квадратного уравнения.

В случае когда D<0, то у уравнения нет действительных корней.

Если D=0, то у уравнения два равных корня.

Если D>0, то у уравнения два различных корня.

D=b²-4ac=(-3²)-4*4*1=-5

Приведённое квадратное уравнение: х²+bx+c=0 можно решить с помощью теоремы Виета:

х1*х2=с

х1+х2=-b

Неполные квадратные уравнения делятся на:

1. Если с=0, то уравнение имеет вид ах²+bx=0
2. Если b=0, то уравнение имеет вид ax² +c=0

ax²+bx=0 можно решить, разложив на множители (вынести за скобку х) х*(ах+b)=0

х=0 или ах+b=0. Значит один корень равен 0, а второй корень х=-b/a (так как произведение двух чисел равно 0 только тогда, когда хотя бы один из множителей равен

2х²-30х=0

х(2х-30)=0

х=0 или 2х-30=0

2х=30

х=15

ах²+с=0 можно решить, извлекая корень из каждой части уравнения.

ах²=-с

х²=-с/а

|х|=√-c/a. Извлекая корень из правой части уравнения, получаем х по модулю.

Это значит, что х1=√-c/a, x2=-√-c/a

Например:

4х²-100=0

4х²=100 |:4

х²=25

|х|=√25

x=+-5

У уравнения может не быть решения, так как корень из отрицательного числа не выводится, а также число в квадрате не может быть отрицательным.

Формулу х1,2=-b+-√b²-4ac/2a

Можно упростить в случае, когда коэффициент b – четное число.

Подставив его в формулу:

х1,2=-b+-√b ²-4ac/2a число 2k вместо b получим.

x1,2=-2k+-√(2k)²-4ac=-2k+-V4k 2-4ac/2a=

=-2k+-√4(k²-ac)/2a=2k+-2√k²-ac/2a=2(-k+-√k²-ac)/2a=-k+-√k²-ac/a

Корни квадратного уравнения ах²+bx+c=0 можно вычислять по формуле х1,2=-k+-√k²-ac/a

Плюсы формулы перед стандартной:

1. В квадрат возводится не число b, а его половина k=b/2
2. Вычитаться из этого квадрата не 4ас, а просто ас
3. В знаменатели содержится не 2а, а просто а

Формула х1,2=-k+-√k²-ac=a выглядит удобной для приведённого квадратного уравнения, то есть когда а=1

В итоге мы получаем х1,2=-k+-√k²-ac

Эта формула корней уравнения x²+2kx-c, где 2k=b (четное)

Решение задач с помощью квадратных уравнений

В кинотеатре неизвестное количество рядов, но мест на 16 больше чем в каждом из рядов. Всего мест 512. Сколько рядов в кинотеатре?

Составим уравнение:

х – количество мест в кинотеатре в одном ряде. Тогда рядов х-16

Применяя переместительный закон:

х(х-16)=512

х²-16х-512=0

а=1

b=-16

c=-512

D=b²-4ac=(-16)²-4*1*(-512)=256+2048=2304=(48)²

х1=-b+√D/2a=16+48/2=64/2=32-количество мест в одном ряде.

x2=-b-√D/2a=16-48/2=-32/2=-16 – не удовлетворяет условию задачи.

Подставим х:

х-16=32-16=16 рядов

Проверка

32*16=512 мест

Известно, что одна из сторон прямоугольника на 28 см больше ширины, а площадь 288 см². Необходимо найти периметр прямоугольника.

Составим уравнение:

х – длина прямоугольника

х-28 – ширина прямоугольника

х(х-28)=288

х²-28х-288=0

а=1

b=-28

c=-288

D=b²-4aс=(-28)²-4*(-288)=784+1152=1936=44 2>0

х1=-b+√D/2a=28+44/2=72/2=36

х2=-b-√D/2a=28-44/2=-16/2=-8 – не удовлетворяет условиям задачи, так как х>28

х-28=36-28=8(см)-ширина

P=2(a+b)=2(36+8)=88(см)

Проверка:

36*8=288(см²)

Сейчас существует множество формул, которые могут сократить время и упростить решение квадратных уравнений, однако их использовать стоит лишь учитывая их условия.