Векторы в пространстве. Понятие вектора в пространстве. Равенство векторов

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Определение

Начнем с определения вектора:

Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом. В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка. 

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. 

Здесь показаны сразу три вектора: У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора СD точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ.

Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец находится в одной и той же точке.

Длина вектора АВ — это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину. Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора — это вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. 

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах.

Определение

Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Теперь нужно ввести некоторые понятия, а именно: какие вектора называются равными, ввести операции сложения, вычитания, умножения на число и т. д.

Теперь введем второй вектор  , обозначим его как вектор  :

Если прямые  и  параллельны (или совпадают), то векторы  и  коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут быть противонаправлены:  или сонаправлены ( ).

Определение

Равными называются коллинеарные сонаправленные векторы, длины (модули) которых равны.

Имеем вектор  и вектор  :

Заданные векторы равны, т. к. они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны:  

Существует также нулевой вектор ( ), т. е. вектор нулевой длины, он изображается точкой.

Проводя аналогию с числами: мы знали число  и противоположное ему число  , это были такие числа, сумма которых равна нулю:

Аналогичное понятие существует и для векторов.

Задана точка  и два вектора:  и  . Эти векторы имеют одинаковую длину ( ), принадлежат одной прямой – коллинеарны – и противонаправлены. Такие векторы в сумме составляют нулевой вектор:

Кроме того:

С физической точки зрения это можно представить следующим образом: если с равной силой тянуть предмет одновременно в две противоположные стороны, то он никуда не сдвинется.

Поскольку мы говорим на этом уроке о векторе — что это такое и что он из себя представляет в геометрическом смысле, мы вводили вытекающие понятия. Повторим их, чтобы лучше сохранить в памяти.

Определение 1

Вектор – это направленный отрезок прямой. Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например:

 →

  a . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B, то вектор обозначается так:

 →

 AB.

Нулевой вектор

Определение 2

Под нулевым вектором 0 будем понимать любую точку плоскости или пространства. Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Определение 3

Под длиной вектора   AB понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

                           →                                             −−→  

Длину вектора AB принято обозначать так: open AB. Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Определение 4

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Определение 5

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными. Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление. Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Определение 6

Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора , у которых направления совпадают.

Определение 7

Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора%

 →     →

  a   и  b  , у которых направления не совпадают, то есть, являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом:

 →     →

  a ↑↓  b  .

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Определение 8

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Определение 9

Противоположными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Определение 9                                                                                 →    →     →  →

Угол φ = ∠ AOB φ=∠AOB называется углом между векторами  a = OA и  b = OB.

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Определение 10

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π/2 радиан).

Итак, на сегодняшнем уроке мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве. Мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарных векторов.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх