Параллельность прямой и плоскости

В курсе планиметрии мы с вами изучали параллельные прямые. В стереометрии же используются еще и параллельные плоскости.

На этом уроке мы рассмотрим параллельность прямой и плоскости, как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве и сформулируем и докажем теорему о параллельности прямой и плоскости.

Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.

Обычно обозначается двумя общепринятыми способами:

• Маленькой латинской буквой (a, b, c и т.д.)
• Двумя заглавными латинскими буквами, которые являются названиями точек, через которые проходит прямая. Например, если это точки А и В, то они образуют отрезок AB, являющийся частью прямой.

Взаимное расположение прямых

Если мы будем рассматривать две прямые на плоскости, то они могут по-разному располагаться по отношению друг к другу:

1. Параллельные прямые – не пересекаются, следовательно, у них нет общих точек.
2. Пересекающиеся прямые – как следует из названия, линии пересекаются и имеют одну общую точку.
3. Перпендикулярные прямые – пересекаются под прямым углом (90 градусов). Перпендикулярность линий обозначается специальными символом – ⊥.

Примечание: в трехмерном пространстве прямые могут быть скрещивающимися, т.е. лежащими в разных плоскостях.

Свойства прямой

1. Через любую точку можно провести бесконечное количество прямых.
2. Через любые две точки, которые не совпадают, можно провести прямую, причем только одну.
3. Две прямые на плоскости являются либо параллельными, либо пересекающимися (в т.ч. перпендикулярными).
4. Если две любые точки прямой лежат на определенной плоскости, значит все точки данной прямой принадлежат этой же плоскости.

Простейшая поверхность – плоскость. В окружающем мире поверхность множества предметов подобна геометрической плоскости, например, пол в комнате, стол, книга, поверхность воды в озере или бассейне. Большинство упомянутых предметов – прямоугольной формы. Если разглядывать их с большого расстояния, то они напоминают параллелограммы. Вот почему довольно часто плоскость на рисунке изображается в виде параллелограмма, но ее можно изобразить и по-другому – любой замкнутой линией.

Строгого определения плоскости в рамках геометрии не дают, это понятие считается исходным, как понятия точки или прямой в планиметрии. Лишь некоторые ее свойства косвенно указываются с помощью аксиом. В реальной жизни примерами плоскости являются поверхность стола или лист бумаги. Однако, в отличие от них, плоскость не имеет границы, она бесконечна (как и прямая). Плоскость не имеет кривизны, поэтому, например, поверхность шара плоскостью не является. При изображении плоскости на чертежах ее обычно показывают в виде параллелограмма, при этом традиционно их обозначают маленькими буквами греческого алфавита, которые в планиметрии используются для обозначения углов (α, β, γ и т. п. ).

определение.Плоскость – поверхность, которая полностью содержит каждую прямую, соединяющую любые ее точки.

Свойства плоскости:

• Две плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельная плоскости, либо находится на ней, либо пересекает ее в одной точке.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, значит они являются параллельными.

Если на плоскости проведена прямая, то она разобьет ее на две фигуры, которые именуются полуплоскостями.

Определение.Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «∥». То есть, если прямая a и плоскость α параллельны, то можно кратко записать a∥α.

Заметим, что выражения «прямая a и плоскость α параллельны», «прямая a параллельна плоскости α» и «плоскость α параллельна прямой a» одинаково употребимы.

В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведу вам вот такую картинку, которую вы сразу же “воскресите” в своей памяти: натянутая гитарная струна и плоскость грифа этой гитары. Видите, как сразу все стало понятно и просто?

Для начала вспомним материал, который мы проходили раньше.

Прямые

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Прямая и плоскость

1. Прямая лежит в плоскости.
2. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку (т.е. пересекаются).
3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Раньше мы с вами уже узнали аксиомы стереометрии. На этом уроке нам понадобится вторая аксиома: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Отсюда вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве (об этом мы только что говорили, но давайте повторим еще раз, чтобы закрепить в памяти получше).

Первый случай. Прямая лежит в плоскости, то есть, каждая точка прямой лежит в плоскости.

Второй случай. Прямая и плоскость пересекаются, то есть, имеют только одну общую точку.

И третий случай. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается следующим образом a∥α. Читают: «Прямая a параллельна плоскости α».

Приведем несколько примеров параллельности прямой и плоскости.

Вот возьмем, к примеру, гитару. Натянутая гитарная струна и плоскость грифа параллельны. Линии электропередач параллельны плоскости земли.

Еще примером может послужить линия пересечения стены и потолка. Эта линия параллельна плоскости пола.

Обратите внимание, в плоскости пола также есть прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной.

Прямые о которых мы сейчас говорили, обозначены буквами а и b. Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащая в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны.

Это утверждение (теорема) является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α.

Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости. Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых.

Докажем теорему. Пусть у нас есть две параллельные прямые а и b и плоскость α. Причем они расположены так, что прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости. Докажем, что прямая а параллельна плоскости α.

Предположим, что прямая а пересекает плоскость α в некоторой точке М. А значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также должна пересекать плоскость α. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости α по условию. Таким образом, наше предположение неверно. И прямая а не пересекает плоскость α. По условию она не лежит в плоскости α. Следовательно, прямая а параллельна плоскости α. Теорема доказана.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство: Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Пример на признак параллельности прямой и плоскости

Пусть SABCD – правильная 4 — угольная пирамида.

Тогда, например, AB∥SCD. Почему? Но ведь AB∥CD, а CD лежит в плоскости SCD.

Значит (по признаку) AB∥SCD.

Есть еще два утверждения, которые часто применяются при решении задач

Первое утверждение. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Второе утверждение. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.