Скрещивающиеся прямые

Линии, не находящиеся в одной плоскости, называются скрещивающимися прямыми. Отсутствуют общие точки, а линии не параллельны друг другу. Примером является транспортная, магистральная развязка, на которой верхняя часть дороги является одной прямой, а идущее под ней направление — скрещивающаяся с первой вторая прямая. Высота опоры моста соответствует расстоянию между этими линиями.

Алгоритм определения того, что прямые линии (ПЛ) могут называться скрещивающимися, описывает расположение вне бесконечной поверхности. Существует несколько теорем и доказательств пересечения прямых в одной точке.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Мы уже знаем, что прямые в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид – скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно уже знакомились чуть раньше. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

При решении задач на плоскости рассматривают два случая взаиморасположения прямых:

• прямые пересекаются;
• прямые параллельны.

При рассмотрении задач в пространстве дополнительно вводят еще одно понятие — скрещивающиеся прямые.

Для скрещивающихся линий предусмотрено следующее обозначение: линия (обозначает первую прямую) и точка (обозначает вторую прямую).

Сегодня предлагаю вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас — то, что вы хотя бы один раз, но точно видели:

1. Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

2. Кабели моста  

3. Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен  

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство. Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.

Теорема доказана.

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

1. параллельно    
2. пересекаются  
3. скрещиваются 

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема.Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство. Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.

 Теорема доказана.

Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рисунок ниже)

Теорема о скрещивающихся прямых в пространстве

Между двумя скрещивающимися прямыми получается угол. Важной характеристикой расположения скрещивающихся линий друг относительно друга является также расстояние между ними. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно величине их общего перпендикуляра.

Здесь можно изучить теорему о единственности общего перпендикуляра.

Доказывать мы ее пока не будет, но знать ее обязаны.

Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют один общий перпендикуляр, являющийся также общим перпендикуляром плоскостей, проведенных через заданные прямые.

А теперь посмотрим на нашу тему немного с другой стороны.

Из курса планиметрии известно, что две прямые линии в плоскости пересекаются, имеют одну точку или располагаются параллельно по отношению друг к другу. Произвести вычисления, необходимые расчеты и графическое построение можно, изучив главные особенности и характеристику понятий.

Когда прямые заданы векторными параметрическими уравнениями, выполняется равенство (формула) р = р0+SU и r = r0+tv.

Вычисление удаленности между ними определяется смешанным и векторным произведением D = (r 0 — p 0, u, v)/u, v.

Существует первая теорема, доказывающая признаки скрещивающихся ПЛ. Ее смысл заключается в теоретическом аспекте, указывающим на то, что когда одна из двух ПЛ (прямых линий) расположена в плоскости, а другая ПЛ пересекает пространство в точке, не находящейся на отрезке, то эти ПЛ (прямые линии) являются скрещивающимися. Данные можно доказать графически, используя методы черчения и рисования фигур, углов и перпендикуляров.

Например, дана плоскость α, в ней находится АВ, а прямая CD пересекается с плоскостью в т. С, расположенной на АВ. Для доказательства скрещивания прямых используется метод от обратного. Предполагается, что существует вторая плоскость, в которой расположены AB и DC. Во второй плоскости лежит отрезок АВ и т. С. Через ПЛ и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость альфа. Второй плоскости бета не существует. Прямые скрещиваются.

Существует три положения прямых. В первом случае линии a и b пересекаются в т. С. Сквозь 2 ПЛ, которые пересекаются, проходит плоскость. ПЛ А II В, лежат в едином пространстве и не смогут пересечься. Прямые скрещиваются, когда не находятся в едином поле.

Вторая теорема о скрещивающихся прямых гласит, что через каждую из пары скрещивающихся ПЛ проходит одна плоскость, параллельная другой. Для подтверждения даны две ПЛ AB и CD. Требуется доказать, что через линию АВ проложена плоскость, параллельная СД.

Для этого через точку А проводится линия АЕ, расположенная параллельно DC. Согласно теореме о параллельных ПЛ, эта линия является единственной. Пересечение двух линий АВ и АЕ позволяет проложить плоскость альфа. Прямая DC, не лежащая в пространстве альфа, II АЕ, значит, DC параллельна пространству α.

Для доказательства единства такого пространства предполагается, что существует другая плоскость бета (β), проходящая через АВ, и является параллельной по отношению к DC.

Признаки скрещивающихся прямых:

Если на двух прямых линиях имеются 4 точки, не находящиеся в одной плоскости, то линии будут скрещены. Если бы данные прямые линии были пересекающимися или параллельными по отношении друг к другу, то они лежали в единой плоскости.

Чтобы сонаправить линии (сделать их параллельными по отношению друг к другу), угол между скрещивающимися прямыми должен быть 0 градусов. Величина, наименьшая из 2 пересекающихся линий, представляет собой угол. Когда все углы одинаковы, образуется его 90-градусный параметр и перпендикулярность.

Угол между скрещивающимися прямыми линиями — когда из одной точки выходят 2 луча между двумя прямыми линиями, которые пересекаются, а также параллельны данным линиям.

В тригонометрии еще существует понятие обозначения косинуса — это отношение длины стороны, прилежащей к острому углу, к гипотенузе. Осуществить нахождение прямых линий параллельно скрещивающимся можно через произвольную точку. Это официальное утверждение. Две прямые линии могут быть параллельными или пресекать плоскость, значит, они находятся в едином пространстве координат.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельна прямой а. Докажите, что b и с- скрещивающиеся прямые.

Доказательство:

1. a||b- через a и b проведем плоскость α (эта плоскость существует по определению параллельных прямых);
2. пусть с пересекает а в точке М. a||b⇒ М ∉b.
3. по теореме о признаке скрещивающихся прямых, с и b скрещиваются.

Пример 2.

Выделите цветом верный ответ:

Дано: ОВ||CD

ОА и CD- скрещивающиеся

∟АОВ= 40°

Найти: угол между ОА и CD

1. 50°
2. 40°
3. 140°

Решение:

1. D ∈ A1D, A1D||AO
2. угол между ОА и CD=∟A1DC
3. ∟A1DC=∟AOB=40°.

Ответ: ∟A1DC=40°.

Правильный ответ:

1. 50°
2. 40°
3. 140°