Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии и следствия из них

Прежде, чем приступить к изучению аксиом и следствий, мы с вами разберемся с основными понятиями стереометрии. Эти знания обязательно пригодятся нам в дальнейшем.

В 7-9 классах мы с вами изучали только те геометрические фигуры, которые полностью лежат в одной плоскости. Иными словами говоря, все построения, которые мы делали на уроках, можно было точно выполнить на листе бумаги. Тем самым мы могли проверить с помощью построения, правильно ли решена та или иная задача. На самом деле мы изучали только один раздел геометрии – планиметрию, которая как раз рассматривает построения на плоскости и свойства плоских фигур. Однако в реальности мир значительно сложнее. Наше пространство считается трехмерным, и большинство реальных объектов обладают объемом. Свойства фигур в пространстве изучает специальный раздел геометрии – стереометрия.

Сразу надо заметить, что при изучении стереометрии используются все те знания, которые уже были получены вами в рамках планиметрии.

Итак, простейшая поверхность – плоскость. В окружающем мире поверхность множества предметов подобна геометрической плоскости, например, пол в комнате, стол, книга, поверхность воды в озере или бассейне. Большинство упомянутых предметов – прямоугольной формы. Если разглядывать их с большого расстояния, то они напоминают параллелограммы. Вот почему довольно часто плоскость на рисунке изображается в виде параллелограмма, но ее можно изобразить и по-другому – любой замкнутой линией.

В стереометрии, так же, как и в планиметрии, определяется равенство двух геометрических тел или фигур.

Две фигуры (или тела) называются равными, если их можно совместить наложением.

Главная величина геометрических тел – это их объем.

Объем геометрического тела – это величина, которая описывает занимающую этим телом часть пространства.

Из определения можно сделать вывод, что объем не зависит ни от местонахождения тела в пространстве, ни от того, как это тело делится на части.

Величину объема вычисляют, основываясь на аксиомах:

1. Равные тела имеют равные объемы.
2. Объем тела равен сумме объемов его отдельных частей.

Чтобы объем можно было измерить, то есть, чтобы объем можно было бы выразить в виде числа, необходимо выбрать единицу измерения объема.

Единица объема -это объем такого куба, ребро которого равно одной единице длины.

Если ребро куба равно 1 см, то его объем обозначается кубическими сантиметрами — см3, если ребро куба равно 1 м, то объем обозначается кубическими метрами — м3.

Тела с равными объемами называют равновеликими.

Все равные тела равновелики, но но все равновеликие тела равны.

Строгого определения плоскости в рамках геометрии не дают, это понятие считается исходным, как понятия точки или прямой в планиметрии. Лишь некоторые ее свойства косвенно указываются с помощью аксиом. В реальной жизни примерами плоскости являются поверхность стола или лист бумаги. Однако, в отличие от них, плоскость не имеет границы, она бесконечна (как и прямая). Плоскость не имеет кривизны, поэтому, например, поверхность шара плоскостью не является. При изображении плоскости на чертежах ее обычно показывают в виде параллелограмма, при этом традиционно их обозначают маленькими буквами греческого алфавита, которые в планиметрии используются для обозначения углов (α, β, γ и т. п. ).

Если на плоскости проведена прямая, то она разобьет ее на две фигуры, которые именуются полуплоскостями.

Объемные фигуры – это часть пространства, которая отделена от остального пространства замкнутой поверхностью, то есть границей. Простейший пример объемной фигуры – это куб.

Поверхность куба – это 6 равных квадратов, каждый из них именуется гранью куба. Стороны этих квадратов – это уже ребра куба, а вершины квадратов одновременно являются и вершинами кубов.

Если куб изображают немного сбоку, то в результате этого изображение становится объемным. Однако при этом нам нужно искажать некоторые размеры и углы на чертеже. Например, верхняя грань должна быть квадратом, но на плоском рисунке углы у этой грани прямыми не являются. При необходимости нам нужно будет поставить специальный значок перпендикулярности между отрезками, который использовали и в планиметрии.

Все грани куба – это многоугольники. Если у фигуры вся ее поверхность состоит лишь из многоугольников, то она именуется многогранником. Таким образом, куб является примером многогранника. Другими примерами многогранников могут служить параллелепипед, пирамида, усеченная пирамида.

Если у объемной фигуры хоть одна поверхность не является многоугольником, то она не может считаться многогранником. Наиболее простыми и часто встречающимися такими фигурами являются шар, цилиндр, конус.

Обратите внимание, что у них могут отсутствовать ребра и вершины, которые обязательно есть у многогранника.

Следует различать саму объемную фигуру и ее границу. Так, шар – это объемная фигура, а поверхность шара – это сфера.

Основные понятия стереометрии

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.

Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.

Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.

Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.

Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).

Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.

Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).

Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.

Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Об аксиомах

Стереометрия, как и планиметрия, построена на нескольких базовых утверждениях, которые считаются абсолютно очевидными и не требуют доказательств. Их называют аксиомами. В свою очередь на основе аксиом доказываются простейшие теоремы стереометрии, которые далее используются для доказательства других, более сложных теорем и т. д. Иначе говоря, аксиомы – это исходные, первичные теоремы, принимаемые без доказательств.

Все вместе аксиомы образуют так называемую систему аксиом, или аксиоматику. Система аксиом должна быть непротиворечивой, то есть с ее помощью нельзя одновременно доказать и истинность, и ложность одной и той же теоремы. Также она должна быть еще и независимой. Это значит, что ни одна из аксиом не может быть доказана с помощью других аксиом (в противном случае эту аксиому можно просто исключить из списка аксиом и считать ее теоремой). Наконец, аксиоматика должна быть полной, то есть с ее помощью любую теорему можно либо доказать, либо опровергнуть, а недоказуемых теорем быть не должно.

На самом деле вопрос о выборе системе аксиом в любой математической дисциплине, в том числе и в геометрии, является достаточно сложным. Первую аксиоматику сформулировал еще Евклид, но в дальнейшем она была признана не вполне удачной. На сегодняшний день наибольшее распространение получила система аксиом Гильберта, которая была сформулирована только в 1899 г. Однако помимо нее существует еще несколько аксиоматик: Погорелова, Колмогорова, Вейля, Биргофа и. т. д.

Прежде, чем формулировать сами аксиомы, еще раз уточним, что есть так называемые неопределяемые понятия стереометрии. В аксиоматике Гильберта это плоскость, точка и прямая. Их свойства как раз и описываются аксиомами. Остальным понятиям даются определения, многие из них были сформулированы в 7-9 классах.

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.

Следствия из аксиом

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 4. Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.