Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых

Помните, когда мы изучали плоскости, нам встречалась тема «Параллельные прямые»?

Так вот, в пространстве тоже бывают параллельные прямые.

Но… здесь все немного иначе.

А еще есть параллельность плоскостей – очень важная штука в стереометрии.

Умея с ней работать, становится легче находить углы и значения величин в задачах, выполнять правильные построения.

Из глубины истории

Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.

В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много ученых: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.

Наш сегодняшний урок начнем с того, что повторим, что же такое параллельные прямые.

Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b или b∥a.

Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Еще раз вернемся к определению.

Обратите внимание! Здесь очень важны слова «лежат в одной плоскости».

Потому что в пространстве бывают другие, НЕ параллельные прямые, которые тоже НЕ пересекаются. Вот, например, есть две прямые – a и b. Через них никак нельзя провести плоскость, но они и не пересекаются.

Такие прямые называются скрещивающиеся.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Прямые в пространстве параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором – такие прямые называются скрещивающимися.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

1. М и а задают плоскость α
2. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
3. В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из курса планиметрии.
4. На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
5. Следовательно, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

1. Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M.
2. Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)
3. Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β. Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).
4. Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

1. Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

1. Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: a∥c и b∥c

Доказать: a∥b

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

• прямая лежит в плоскости;
• прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются;
• прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Обозначение: a||α.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка – она параллельна плоскости пола.

Признаки параллельности прямых в пространстве

1. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
2. Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Параллельность прямой и плоскости

Определение параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Вот так: видите, прямая как бы «висит» над плоскостью.

И представь себе, существует признак параллельности прямой и плоскости. Давай его сформулируем.

Признак параллельности прямой и плоскости

Прямая a параллельна плоскости α, если в этой плоскости есть (хоть одна!) прямая b, параллельная a.

Можно сказать и немного другими словами, но смысл остается тот же.

Если прямая a параллельна прямой b, лежащей в плоскости α, то прямая a параллельна и всей плоскости α.

Параллельность плоскостей

Определение параллельности плоскостей

Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали

И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Наверное, для объяснения понадобилось очень много слов? А вы посмотри на картинку: если a∥a′ и b∥b′, то это значит, что α и α′ (плоскости) — параллельны, то есть нигде не пересекутся.

Параллельность в пространстве: свойство транзитивности

Название, конечно, красивое, но непонятное! О чем же пойдет речь?

А вот попробуйте задуматься над вопросом: правда ли, что если прямая a параллельна прямой b, a b∥c, то a∥c?

И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “a” через “b” на “c” и называется «транзитивность».

Посмотрите сами и убедитесь!

Ну вот, мы с вами обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

А теперь, когда урок подходит к концу, еще раз вкратце повторим то, о чем мы сегодня говорили, подведя итоги.

Мы доказали теорему – Признак параллельности прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Это мы знали еще из курса планиметрии, но это утверждение справедливо и для трех прямых в пространстве.

Мы доказали лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

На этом уроке мы рассмотрели параллельные прямые в пространстве. А именно, рассмотрели параллельность трех прямых. Доказали лемму о том, что если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. А затем с ее помощью доказали теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.