Двоичная система счисления. Двоичная арифметика

Двоичная система счисления активно используется в современных электронных вычислительных устройствах.

Двоичная система счисления — позиционная система счисления, основание которой равно двум (q=2).

Алфавит данной системы состоит из двух цифр — 0 и 1. С их помощью можно записать все числа. 

Принцип построение чисел такой же, как и в привычной нам десятичной системе счисления. Чтобы не путаться при записи чисел в разных системах счисления основание указывают с помощью нижнего индекса.

Обратите внимание, что степени двойки — нулевая единица, первая 2, вторая 4, третья 8, и так далее если бы мы продолжили ряд чисел имеет одинаковую форму записи. Это единица и несколько нулей, причем количество нулей в точности равно степени числа 2.

2n = 1000 … 0002

n

К примеру, десятичное число 256 записывается в двоичной системе счисления как единица с восьмью нулями, так как это 2 в восьмой степени.

256 = 28 = 1000000002

              8

Все числа, которые на единицу меньше, чем степени двойки состоят только из единиц. При этом количество единиц равно ближайшей степени.

2n – 1 = 11 … 1112

           n

так как 7, это 8 минус 1, а 8 это 2 в третьей степени, то в двоичной система исчисления оно запишется как три единицы

7 = 8 – 1 = 23-1 = 1112

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления

Воспользуемся развернутой формой записи числа.

Требуется перевести в десятичную систему двоичное число 1101002

Она состоит из шести цифр, то есть является шестизначным. Расставим разряды от нулевого до пятого справа налево. Удобно расставлять их над цифрами числа.

5 4 3 2 1 0

1101002

Теперь формируем сумму

Цифру 5 разряда 1 умножим на основание системы счисления 2 в степени равной разряду 5. Следующее слагаемое, также единица, умноженное на основании 2 в степени равной разряду 4 и так далее.

                                                                      5 4 3 2 1 0

 1101002 = 1*25+1*24+0*23+1*22+0*21+0*20 =

Вычислим значение полученного выражения. Для этого полезно выучить степени числа 2 от 0 до 10. Они будут часто использоваться в дальнейшем.

= 25+24+22 = 5210

В результате получим

1101002 = 5210

Заметьте, что слагаемые, которые в развернутой форме записи числа соответствуют цифре 0, не влияют на значение суммы.

Исходя из этого, можно сформулировать правило

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления нужно вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам свернутой записи числа.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления

Для примера, определим в двоичную запись десятичного числа 45

Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную, разделим его и далее все получающиеся частные на основание новой системы счисления — на 2. Этот процесс продолжается до тех пор, пока очередной частное не станет равно нулю.

Остатки от деления, записанные в обратном порядке, и будут двоичной формой записи числа.

Таким образом, в двоичной системе счисления число 45 записывается как

4510 = 1011012

 Индекс 2 указывает на двоичную систему счисления.

Вычислим значение первых степеней числа 2.

Запомните их!

20 = 1	26 = 64
21 = 2	27 = 128
22 – 4	28 = 256
23 = 8	29 = 512
24 = 16	210 = 1024
25 = 32

Двоичная арифметика

Здесь нас интересует три арифметические действия — сложение, вычитание и умножение. Для их выполнения потребуются таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Обратите внимание!

Число 2 (сумма двух чисел), записывается как 1 0, так как мы работаем в двоичной системе счисления.

При умножении только произведение двух единиц дает 1, в остальных случаях получается 0.

Пример                   

101*110 – 1101

Все числа записаны в двоичной системе счисления. Сначала определимся с порядком действий. Как и положено, в алгебре умножение выполняется раньше вычитание. Выполним первое действие — умножение.

При умножении на ноль мы естественно получаем ноль, а при умножении на единицу — исходное число.

Далее необходимо выполнить сложение

Таким образом, мы получили двоичное число 11110.

Выполним вычитание. Так как мы не можем вычесть из нуля единицу, придется занять в соседнем разряде. Теперь вычитаем единицу из двоичного числа 1 0, то есть из двойки.

В результате получаем двоичное число 10001.

Чтобы проверить вычисление нужно каждое из чисел примера перевести в десятичную систему счисления, произвести там все вычисления, а ответ перевести обратно в двоичную систему. Если все выполнено правильно, ответы должны совпасть.