Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Восьмеричная система счисления

Это отдельная позиционная система счисления, с основанием q равным 8.

Алфавит здесь содержит 8 цифр, от нуля до девяти.

Правила перевода  числа

Необходимо представить число 10758 в десятичной системе.

Для выполнения этого действия требуется записать развернутую форму данного числа. Каждое слагаемое является произведением двух чисел. Цифры числа и основание в степени соответствуют разряду.

10758 = 1*83+0*82+7*81+5*80 = 512+0+56+5 = 57310

Необходимо представить число 19910 в восьмеричной системе счисления.

С этой целью необходимо разделить число и его частные на основание новой системы, то есть на 8 до того момента, пока очередное частное не будет равняться нулю.

Все остатки от деления записываются в противоположном порядке.

307

Шестнадцатеричная система счисления

Эта система имеет основание q равное 16.

Алфавит состоит из 16 цифр от 0 до 15, но так как в десятичной системе для представления чисел старше 10 уже используются цифры, потребовалось придумывать новые знаки. Общепринятым стало использование строчных больших букв латинского алфавита от А до F, то есть A  — 10, B  — 11,  C  — 12, D  — 13, E  — 14, F  — 15.

Таким образом, алфавит шестнадцатеричной системы включает

0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F

Общие правила перехода от произвольной системы с основанием q в десятичную и наоборот

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются компьютерными.

Это связано с тем, что изображение чисел и любой информации в двоичном коде (в виде двоичных чисел) дает ряд преимуществ перед использованием десятичных чисел. Однако, так как длина последних велика, на определенном этапе разработки целесообразно представить их в восьмеричной или шестнадцатеричной системе.

Для быстрой трансформации числа следует помнить, что основание 8 и 16 представляют собой степень числа 2.

Для лучшего восприятия этого приема следует изучить таблицу тетрад и триад.

Пример

Переведите двоичное число 10101000001101 в шестнадцатеричную систему счисления.

Для этого следует разделить его на группы, состоящие их четырех цифр, после чего отдельную группу заменить подходящей шестнадцатеричной цифрой, в соответствии с представленной выше таблицей.

0010│1010│0000│1101

                                                        2   А   0   D

Теперь нужно представить восьмеричное число 13207 в двоичной системе счисления.

Это можно выполнить, заменив каждую цифру на группу, состоящую из трех двоичных цифр.

Чтобы число из системы с основанием q перевести в десятичную, необходимо применить развернутую форму записи числа.

Каждое слагаемое в сумме это произведение очередной цифры числа в десятичном представлении и основание системы счисления q в степени, разной разряду данной цифры.

Для трансформации числа из десятичной системы в систему с основанием q, следует данное число и далее частное от деления поделить на основание новой системы счисления.

Это действие выполняется до того момента, пока частное не будет равняться нулю. Остатки от деления записываются в противоположном порядке и представляют собой число в системе счисления с основанием q.