Основные сведения о системах счисления

Система счисления — особая знаковая система, предусматривающая запись числа в соответствии с определенными правилами. Для записи используются специальные символы —  цифры. 

Совокупность цифр называется алфавитом.

Пример

В известной всем Римской системе счисления алфавитом является набор знаков, показанных ниже.

При записи римских чисел необходимо соблюдать общепринятые правила. Когда большая цифра расположена перед меньшей, значение этих цифр складывается. В случае когда меньшая цифра стоит перед большей, то из последней вычитают меньшую.  Здесь уместно провести аналогию с естественными языками — средствами коммуникации.

Пример

Русский язык имеет алфавит — совокупность специальных символов (букв) для записи слов. В составлении слов принимают участие буквы, используемые по установленным правилам. Получается, что цифры соответствуют буквам, а числа — словам.

В мире было придумано множество систем счисления. Даже несколько тысяч лет назад применяли различные способы записи чисел. У жителей Древнего Египта и Вавилона были собственные системы счисления.

Современная система счисления обладает классификацией. Всего выделяют три вида систем:

•       унарная;
•       непозиционная;
•       позиционная.

Непозиционная — система счисления, при которой количественный эквивалент цифры не зависит от местонахождения цифры в записи.

Позиционная — система счисления, при которой количественный эквивалент цифры зависит от положения цифры в записи.

Для наглядности сравним два числа, записанные в соответствии с Римской системой счисления:

XVII  LXVI

В каждом из представленных чисел присутствует цифра 10, причем на ее значение не влияет местоположение — на третьем или на четвертом месте справа эта цифра находится. Отсюда можно сделать вывод, что Римская система счисления является непозиционной.

Рассмотрим теперь число, записанное в соответствии с правилами десятичной системы счисления:

1215

В представленном числе дважды используется цифра 1. Она стоит в первом и третьем разряде.  В одном случае она обозначает один десяток, а в другом — одну тысячу. Следовательно, в зависимости от местоположения цифры меняется ее числовой эквивалент. Поэтому десятичная система счисления считается позиционной.

Позиционная система счисления

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число, большее единицы. При этом количество цифр в алфавите равняется основанию.

Пример

В десятичной системе счисления основание равно 10 и алфавит содержит 10 цифр

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Каждое целое число можно представить так называемых свернутых и развернутых формах.

Формы записи чисел

Свернутая форма наиболее привычная нам, нею мы пользуемся каждый день. По ее правилам число является совокупностью цифр, а ее количественный эквивалент устанавливает разряд.

Aq = an-1 an-1 … a2a1a0

При использовании развернутой формы записи, число представляет собой сумму однотипных слагаемых. В каждом слагаемом последующая цифра числа умножается на основание системы счисления в степени, равной разряду данного числа.

Aq = an-1*qn-1+an-2*qn-2+…+a2*q2+a1*q1+a0*q0

В качестве примера давайте рассмотрим развернутую форму десятичного числа 1593110.

Нижний индекс 10 указывает на основание системы счисления. Каждая цифра умножается на свой вес (степень основания). К примеру, цифра 5 означает пять тысяч и потому умножается на 10 в третьей степени, то есть на тысячу. Цифра 3 означает три десятка, так что умножается на основании 10 в первой степени.

1593110 = 1*104+5*103+9*102+3*101+1*100

Отметим также, что разряды в числе проставляются справа налево, начиная с нулевого. Любое число в нулевой степени это один, так что нулевой разряд обозначает единицы. На следующем уроке мы будем учиться использовать развернутую форму записи числа.