Числовая окружность

Данный урок у нас полностью посвящен числовой окружности, что является началом нового раздела “Тригонометрические функции”. Помимо нового раздела у нас появилась и новая математическая модель — числовая окружность.

Главное свойство числовой окружности

Именно эта модель чаще всего рассматривается в реальной жизни, так как движение по окружности более распространенное, нежели движение по прямой.  Для визуализации рассмотрим школьный спортивный зал, обладающий беговой дорожкой по окружности.

Как правило, ученики бегают против часовой стрелки, начиная с точки А. За счет круглой формы дорожки ребята могут пробежать дистанцию любой длины, при этом повторяя маршрут. Но главное в этом то, что конкретному числу соответствует какая-то точка на окружности, т.е. финиш.

Что касается отрицательных чисел, то их также можно отметить на числовой окружности, однако, ученики уже побегут не против часовой стрелки, а наоборот — по ней.

На всех занятиях проще всего пользоваться единичной окружностью, т.е. окружностью, у которой радиус равен 1. Здесь же отметим, что новую для нас модель принято делить на четверти. Так дуга AB — первая четверть, BC — вторая, CD — третья, а DA — четвертая. Сразу оговоримся, что “движение по окружности” — это движение против часовой стрелки.

Теперь закрепим полученную теорию практикой.

В качестве первого примера возьмем следующую задачу:

Найти на числовой окружности точку с координатой 21/4.

Начнем свое решение с того, что заданную координату преобразуем в более простую запись, т.е. выделим целую часть: 5 + /4. Как мы видим, мы можем спокойно отмерить 5, где 1 — это половина окружности.

Таким образом отмеряем от точки А 5 — два с половиной круга, а также /4 — еще половина четверти. В итоге мы получаем точку M, которая является серединой третьей четверти. Итог всех вышеописанных действий можете видеть на следующем рисунке:

Запишем ответ.

Ответ: точка M – середина третьей четверти.

Рассмотрим еще один пример, но уже не совсем стандартной записи:

Спортсмен выступает на соревнованиях, где ему необходимо пробежать следующие дистанции: 200 м, 800 м, 1500 м. Известно, что он начинает забег в точке А и движется против часов стрелки. Также сказано, что длина круга — 400м. Необходимо найти место, в котором спортсмен финиширует при забеге на каждую из 3-х дистанций. Также будет проводиться марафон на 4195 м. Где будет финиш в этом случае?

Решение:

Дистанцию на 200 м бегун завершит в точке С, которая является серединой круга. А нам известно, что спортсмен пробежит 200м — ровно половину дистанции.

Пробежав 800 м, бегун сделает ровно два круга и окажется в той же самой точке, откуда и начинал забег, т.е. точке А.

Если рассчитывать финиш дистанции в 1500 м, то можно сделать следующий вывод: 1500 = 3 круга по 400 м (3 * 400 = 1200) и еще 300 м, которые составляют 3/4 от беговой дорожки. Соответственно финиш этой дистанции в точке D.

И последний самый большой забег — это 4195 м. 4195 — это 10 кругов по 400 м (10* 400 = 4000) и 195 метров, который на 5 метров меньше, чем половина круга. Значит финиш будет в точки K, расположенной около точки С.