Периодичность функций y = sin x, y = cos x

На прошлых занятиях мы уже познакомились с функциями y = sin x и y = cos x. Сегодня мы рассмотрим подробнее, что означает понятие периодичности функции.

Что такое периодичность функции?

Математически периодичность функции f(x) можно определить как f(x) = f(x + T), где T – период функции. Период функции может быть положительным или отрицательным, и он может быть определен для любой функции, независимо от ее вида.

Периодичность функции y = sin x

Функция y = sin x является трансцендентной функцией, которая имеет периодическую форму, то есть повторяет свои значения через определенные промежутки. Период функции sin x равен 2π, где π – это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру (приблизительно равно 3.14159).

Функция sin x повторяется через каждые 2π единиц по оси абсцисс. Аргумент функции (х) может изменяться на любое значение, но если добавить или отнять 2π от x, то значение sin x останется неизменным.

Кроме того, sin x – функция гармонического типа, так как она изменяется со временем в гармонической форме, то есть имеет колебания с равными периодами.

Зная период функции y = sin x, можно также вычислить длину волны, которую она описывает, используя формулу λ = 2π/k, где λ – длина волны, k – волновой вектор. В данном случае, k = 1, так как амплитуда sin x равна 1.

Таким образом, период функции y = sin x равен 2π, а амплитуда функции ограничена от -1 до 1.

Период функции y = cos x

Функция y = cos x также является трансцендентной и имеет периодическую форму. Период функции cos x также равен 2π (то есть такому же значению, что и у у = sin x), что означает, что функция повторяется через каждые 2π единиц по оси абсцисс.

Для функции cos x  справедливо свойство, которое называется четностью функции. При замене аргумента x на -x значение функции не меняется, т.е. справедливо утверждение: cos(-x) = cos(x). Это свойство проявляется в графике функции, который симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через начало координат.

Отметим, что функция cos x является сдвигом функции sin x на -π/2. Таким образом, сos x = sin (x – π/2).