Преобразование графиков тригонометрических функций

Преобразование графиков тригонометрических функций определяется изменением значений аргумента, амплитуды и фазы функции. Применение этих преобразований позволяет изменять форму, положение, амплитуду, период и сдвиг графика.

Преобразования графиков синуса и косинуса

Простейшим видом тригонометрической функции является синус (sin) и косинус (cos). Их графики имеют вид синусоиды и колеблются между -1 и 1. Графики обеих функций имеют общие особенности: обе симметричны относительно оси OX, периодические с периодом 2π, амплитуда равна 1.

Процесс преобразования графиков синуса и косинуса может быть использован для создания новых функций. Основными преобразованиями являются изменение периода, изменение амплитуды и сдвиг по оси OX или OY.

Изменение периода

Изменение периода функции означает, что график функции будет повторяться с другой частотой, чем заданная исходная функция.

Если масштабирующий множитель в функции синуса или косинуса был изменен, то период функции будет изменен. Масштабирующий множитель – это число, на которое умножается исходная функция.

Если y = Asin(Bx) или y = Acos(Bx), тогда период функции будет равен (2π/B). Таким образом, если масштабирующий множитель B будет увеличен, то период функции уменьшится и график будет более периодичным. Например, если y = 2sin(x), то период функции будет равен 2π.

Изменение амплитуды

Изменение амплитуды функции означает, что колебания графика будут изменяться между двумя фиксированными точками, а не между -1 и 1. Это изменение может произойти из-за масштабирующего множителя A.

Если y = Asin(x) или y = Acos(x), тогда амплитуда функции будет равна модулю масштабирующего множителя A. В результате, если значение параметра А уменьшено, то амплитуда колебаний графика будет маленькой.

Сдвиг графика по оси OX или OY

Сдвиг графика функции вправо или влево по оси OX происходит путем добавления или вычитания константы. В то же время, если график сдвинут вверх или вниз по оси OY, это также происходит путем добавления или вычитания константы.

Если y = Asin(Bx – C) или y = Acos(Bx – C), тогда сдвиг графика на C/B единиц по оси OX будет равен (C/B), а сдвиг на D единиц по оси OY равен D.

Преобразования графиков тангенса и котангенса

Графики тангенса и котангенса представляют собой гиперболические функции, которые также могут быть преобразованы. Для этого применяют такие преобразования, как изменение периода, сдвиг графика по оси абсцисс (OX) или ординат (OY) и изменение амплитуды.

Изменение периода. Как и с графиком синуса и косинуса, изменение периода тангенса и котангенса может произойти из-за изменения масштабного множителя, который умножается на аргумент функции.

Если y = Atan(Bx) или y = Acot(Bx), тогда период функции будет равен π/B, при условии, что B не равно нулю. Таким образом, увеличение значения масштабного множителя B приведет к уменьшению периода графика функции.

Изменение амплитуды. Амплитуда графика тангенса и котангенса не имеет фиксированной величины, как это бывает у синуса и косинуса. В то же время, изменение амплитуды возможно, если применен масштабирующий множитель A.

Если y = Atan(x) или y = Acot(x), тогда амплитуда функции будет пропорциональная модулю масштабного множителя A. Следовательно, увеличение значения параметра A приведет к большей степени изменения амплитуды графика функции.

Сдвиг графика по оси OX или OY. Сдвиг графика тангенса и котангенса вправо или влево по оси OX происходит путем добавления или вычитания константы. Чтобы сдвинуть график вверх или вниз по оси OY, нужно также добавить или вычесть константу.

Если y = Atan(Bx – C) или y = Acot(Bx – C), тогда сдвиг графика на C/B единиц влево произойдет за счет вычитания (C/B), а сдвиг на D единиц вверх или вниз произойдет за счет добавления или вычитания D.