Функции y = sin x, её свойства и график

Функция y = sin x – одна из самых распространенных функций в алгебре и математическом анализе. На этом занятии рассмотрим ее свойства и построим график.

Свойства

Рассмотрим основные свойства функции y = sinx:

1. Ограниченность. Функция sinx ограничена сверху и снизу значениями 1 и -1 соответственно. То есть все значения функции находятся в диапазоне от -1 до 1.
2. Периодичность. Функция sinx обладает периодичностью, т.е. ее график повторяется через определенные промежутки. Период функции sinx равен 2π, что означает, что значение функции через каждые 2π равняется значению функции в начальной точке.
3. Нечетность. Функция sinx является нечетной функцией, т.е. для любого значения x выполняется равенство sin(-x)=-sin(x).
4. Максимумы и минимумы. Максимум функции sinx равен 1 и достигается при x=π/2, а минимум функции -1 и достигается при x=3π/2. Промежутки между максимальными/минимальными значениями функции называются амплитудой.
5. Нули функции. Нули функции sinx располагаются в точках x=kπ, где k принимает любое целое значение.
6. Симметрия. График функции sinx симметричен относительно оси x=π/2, что означает, что при взаимной замене x на π-x функция сохраняется.
7. Монотонность. Функция sinx является монотонно возрастающей на интервале от 0 до π/2 и монотонно убывающей на интервале от π/2 до π.
8. Дифференцируемость. Функция sinx дифференцируема на всей числовой прямой и ее производная равна функции cosx.
9. Интегрируемость. Функция sinx интегрируема на всей числовой прямой. Ее первообразной является функция -cosx.

Построение графика функции

Для построения графика функции y = sin x необходимо точно определить ее значения на некоторых интервалах, а также на разметке осей координат.

• Определение периода функции. Функция y = sin x имеет период 2π, это означает, что график функции повторяется каждые 2π единиц. Для построения графика функции достаточно определить значения функции на интервале от -π до π.
• Определение осей координат. Построить ось абсцисс (ось x) и ось ординат (ось y) перпендикулярно друг к другу и провести через их пересечение начало координат.
• Определение точек пересечения оси x. Функция y = sin x имеет точки пересечения с осью x при x = kπ, где k – целое число. Сложив или вычтя значение π к кратному периода 2π, находим значения x, при которых синус равен 0.
• Определение максимальных и минимальных значений. Максимальное значение функции y = sin x равно 1 и достигается при x = π/2, 5π/2, …, а минимальное значение равно -1 и достигается при x = 3π/2, 7π/2, ….
• Построение на графике точек пересечения с осью x, максимумов и минимумов.

Наносим на график все найденные значения x, при которых функция достигает значения 0.

Они представлены в таблице:

| k | x |

|—|—|

| 0 | 0  |

| 1 | π  |

| 2 | 2π |

| 3 | 3π |

На графике отмечаем точки максимума и минимума функции.

• Определение знака функции. Отмечаем на графике интервалы, на которых функция y = sin x положительна, т.е. больше нуля, и интервалы, на которых функция отрицательна, т.е. меньше нуля. Знак синуса меняется при пересечении его периодической оси.
• Построение графика. С помощью табличных значений x и y, с учетом знака функции проводим непрерывную линию через точки и получаем график функции y = sin x.