Функция y = cos x, её свойства и график

Функция y = cos x является одной из основных тригонометрических функций, которая определяет соотношение между двумя сторонами прямоугольного треугольника и углом между ними. Рассмотрим подробно основные свойства функции y = cos x и особенности построения ее графика.

Основные свойства

1. Функция cos x является четной функцией, то есть для любого значения x выполняется равенство cos(-x) = cos(x). Она ограничена сверху и снизу значениями 1 и -1 соответственно, то есть все значения функции находятся в диапазоне от -1 до 1.
2. Периодичность функции cos x заключается в том, что ее график повторяется через определенные промежутки. Период функции cos x равен 2π, что означает, что значение функции через каждые 2π равняется значению функции в начальной точке.
3. Максимумы и минимумы функции cos x соответствуют значениям в точках x = 0 и x = π, где максимум равен 1, а минимум равен -1. Промежутки между максимальными / минимальными значениями функции называются амплитудой.
4. Нули функции cos x располагаются в точках x = kπ + π/2, где k принимает любое целое значение.
5. Симметрия графика функции cos x заключается в том, что он симметричен относительно оси x = π/2. То есть, при замене x на π – x функция сохраняется.
6. Монотонность функции cos x зависит от значения x. На интервале от 0 до π/2 она монотонно убывает, а на интервале от π/2 до π монотонно возрастает.
7. Дифференцируемость функции cos x означает, что она дифференцируема на всей числовой прямой, и ее производная равна функции -sin x.
8. Интегрируемость функции cos x означает, что она интегрируема на всей числовой прямой, и ее первообразной является функция sin x.

График функции

График функции cos x имеет форму колебательной кривой, которая пересекает ось ординат в точке x = 0, а затем изменяет свой знак, пересекая ось абсцисс в точках x = π/2 и x = 3π/2. Кривая достигает своего максимального значения, равного 1, в точке x = 0, а своего минимального значения, равного -1, в точке x = π. Между этими точками график функции изменяет свое направление, образуя перегиб.

Для построения графика функции y = cos x необходимо точно определить ее значения на некоторых интервалах, а также на пикетаже осей координат.

• Определение периода функции. Функция y = cos x имеет период 2π, что значит, что график функции повторяется каждые 2π единиц. Для построения графика функции, достаточно определить значения функции на интервале от -π до π.
• Определение осей координат. Построить ось абсцисс (ось x) и ось ординат (ось y) перпендикулярно друг к другу и провести через их пересечение начало координат.
• Определение точек пересечения оси x. Функция y = cos x имеет точки пересечения с осью x при x = kπ + π/2, где k – целое число. Сложив или вычитая значение π/2 к кратному периода 2π, находим значения x, при которых косинус равен 0.
• Определение максимальных и минимальных значений. Максимальное значение функции y = cos x равно 1 и достигается при x = 0, 2π, …, а минимальное значение равно -1 и достигается при x = π, 3π, … .
• Построение на графике точек пересечения с осью x, максимумов и минимумов.

Наносим на график все найденные значения x, при которых функция достигает значения 0.

Они представлены в таблице:

| k | x |

|—|—|

| 0 | π/2 |

| 1 | 3π/2 |

| 2 | 5π/2 |

| 3 | 7π/2 |

Также отмечаем на графике точки максимума и минимума функции.

• Определение знака функции. Отмечаем на графике интервалы, на которых функция y = cos x положительна, т.е. больше нуля, и интервалы, на которых функция отрицательна, т.е. меньше нуля. Знак косинуса меняется при пересечении его периодической оси.
• Построение графика. С помощью значений x и y из таблицы, с учетом знака функции проводим непрерывную линию через точки и получаем график функции y = cos x.