Числовая окружность на координатной плоскости

В рамках данной темы мы изучим новую для нас математическую модель – числовая окружность на координатной плоскости, а также научимся находить координаты точек, расположенных на числовой окружности.

Начнем с того, начертим числовую окружность таким образом, чтобы она удовлетворяла следующие условия:

• Существует точка, которая объединяет центр окружности и начало координат;
• Радиус окружности имеет длину в один единичный отрезок или, другими словами, точка А находилась на координате (1;0).

Для всех точек числовой окружности справедливы следующие неравенства: -1 ⩽ x ⩽ 1 и -1 ⩽ y ⩽ 1.

Однако есть закономерность, что:

• Если x > 0, у > 0, то заданная точка размещена в первой четверти;
• Если же х< 0, у > 0, то во второй четверти;
• Если х< 0, у < 0, то в третьей четверти;
• Если х > 0, у< 0, то четвертой четверти.

Для успешного решения различного рода задач необходимо уметь хорошо вычислять координаты следующих точек числовой окружности:

Для закрепления полученной теории займемся практикой. И найдем координату точки

π/4.

Начнем наше решение с того, что рассмотрим точку М (π/4). Если мы обратим внимание, то увидим, она располагается в первой четверти. Следовательно, можно провести из точки М перпендикуляр МР, который опустится на прямую ОА. У нас должен получится треугольник OMP, который необходимо рассмотреть. 

Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то значит, что ∠MOP = 45. Следовательно, треугольник OMP является равнобедренным и прямоугольным, а OP = MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x = y.

Поскольку координаты точки М (х; y) не противоречат уравнению числовой окружности, то для их поиска понадобиться решение следующей системы уравнений:

x^2 + y^2 = 1,

x = y.

Произведя все вычислительные операции, мы получаем:

y = x = √2/2.

Следовательно, координаты точки M, соответствующей числу π/4, будут М (π/4) = M (√2/2; √2/2).

Точно по такому же способу можно будет вычислить любую необходимую вам точку.

Таблицы с координатами точек числовой окружности

Рассмотрим еще один пример и найдем координату следующей точки числовой окружности: Р(45 * (π/4))

Решение:

Начнем с того, что числам t и t + 2π ∗ k, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:

45 * (π/4) = (10 + 5/4) ∗ π = 10π + 5* (π/4) = 5 * (π/4) + 2π ∗ 5.

Следователь, числу 45 * (π/4) соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π/4. Посмотрев значение точки 5π/4 в таблице, получаем:

P(45π/4) = P(-√2/2; -√2/2).

Теперь разберем противоположный пример: найдем на числовой окружности точки с абсциссой x ≥ −√2/2 и их значение.

Решение:

Прямая x = −√2/2 имеет пересечение с числовой окружностью в точках М и Р. Неравенству x ≥ −√2/2 соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу 3 * (π/4) (по данным таблицы). Следовательно, и числу вида −3π/4 + 2π ∗ k. Точка Р соответствует числу −3π/4, а значит, и любому числу вида −3π/4 + 2π ∗ k.

Тогда получим −3π/4 + 2π ∗ k ≤ t ≤ 3π/4 + 2πk.

Ответ: −3π/4 + 2π ∗ k ≤ t ≤ 3π/4 + 2πk.

Как вы видите, если разобраться в алгоритме поиска координат точек, то делать это будет достаточно просто. Дело в том, что почти все задачи подчиняются одному и тому же алгоритму.

Таким образом, мы ознакомились с данной темой со всех сторон, что поможет в дальнейшем решении задач и освоение другого материала, связанного с этим.