Формулы приведения

Начнем разбор темы с того, что обозначим предназначение формул приведения. Формулы приведения нужны в тех случаях, когда дана функция углов произвольной величины. А как вы знаете, работать с такими углами практически невозможно. Как раз для преобразования этих функций до функций углов, находящихся в интервале от 0 до 90 градусов или, как еще пишут, от 0 до π/2 и используют формулы приведения.

Также сразу отметим ряд моментов, о которых стоит помнить:

• В роли аргументов функций тригонометрии выступают углы следующего вида:  ± α + 2 π ⋅ z ; π/2 ± α + 2π ⋅ z ; 3π/2 ± α + 2π ⋅ z, где z является любым целым числом, а α – произвольным углом поворота;
• Формул приведения существует огромное множество, однако, не стоит бросаться их учить. Достаточно уметь их выводить, используя при этом мнемоническое правило, подробнее о котором мы скажем позже.

Теперь рассмотрим формулы приведения:

sin(α + 2πz ) = sin α; cos(α + 2πz) = cos α;

tg(α + 2πz) = tg α; ctg(α + 2πz) = ctg α;

sin(−α + 2πz) = −sin α; cos(−α + 2πz) = cos α;

t g(−α + 2πz) = − tg α; ctg(−α + 2πz) = −ctg α;

sin(π/2 + α + 2πz) = cos α; cos(π/2 + α + 2πz) = − sin α;

tg(π/2 + α + 2πz) = −ctg α; ctg(π/2 + α + 2πz) = −tg α;

sin(π/2 − α + 2πz) = cos α; cos(π/2 − α + 2πz) = sin α;

tg(π/2 − α + 2 π z ) = ctg α; ctg(π/2 − α + 2πz) = tg α;

sin (π + α + 2πz) = −sin α; cos(π + α + 2πz) = −cos α;

tg(π + α + 2πz) = tg α; ctg (π + α + 2πz) = ctg α;

sin(π − α + 2πz) = sin; cos(π − α + 2πz) = −cos α;

tg(π − α + 2πz) = − tg α; ctg (π − α + 2πz) = −ctg α;

sin(3π/2 + α + 2πz) = −cos α; cos (3π/2 + α + 2πz) = sin α;

tg (3π/2 + α + 2πz) = − ctg α; ctg(3π/2 + α + 2πz) = −tg α;

sin(3π/2 − α + 2πz) = −cos α; cos(3π/2 − α + 2πz) = −sin α;

tg (3π/2 − α + 2πz) = ctg α; ctg(3π/2 − α + 2πz) = tg α.

Для закрепления полученной теории рассмотрим несколько примеров. И первое, что мы сделаем – это проиллюстрируем всевозможные способы записи угла под знаком тригонометрической функции. А способами являются такие виды записи: ± α + 2πz; π/2 ± α + 2πz; π ± α + 2πz ; 3π/2 ± α + 2πz.

Для примера запишем угол α = 16π/3 во всех этих вариациях:

α = 16π/3 = π + π/3 + 2π ⋅ 2;

α = 16π/3 = −2π/3 + 2π ⋅ 3;

α = 16π/3 = 3π/2 − π/6 + 2π.

Приведем еще один пример, а именно найдем тангенс того же самого угла α = 16π/3. Конечно же для этого нам придется использовать формулы приведения.

И первое, с чего мы начнем свое решение – это преобразование заданного условием угла в вид α = π + π/3 + 2 π ⋅ 2. Теперь обратимся к нашим формулам приведения и увидим, что представленному выше представлению угла подходит следующая формула приведения: tg(π + α + 2πz) = tg α. Следовательно, получаем:

tg 16π/3 = tgπ + π/3 + 2π·2 = tg π/3. Остается только посмотреть в таблицу со значениями тангенса и найти итоговый ответ. Видим, что tg π/3 = √ 3.

Ответ: tg π/3 = √ 3.

Таким образом, применение формул приведения – не такое трудное понятие. Самое главное – это быстро ориентироваться в них и уметь преобразовывать углы.

Мнемоническое правило: что это такое

Как уже было сказано выше, формул приведения огромное количество, поэтому выучить их будет как минимум трудно, однако, этого и не требуется. Дело в том, что существует ряд закономерностей, благодаря которым можно самостоятельно выводить данные формулы. Как раз эти закономерности и обобщают в мнемоническое правило.

Мнемоническое правило состоит из 3-х частей:

1. Аргумент данной функции представляют в одном из следующих видов: ± α + 2πz; π/2 ± α + 2πz; π ± α + 2πz; 3π/2 ± α + 2πz. При этом угол α должен принадлежать промежутку от 0 до 90 градусов.
2. Затем ищут знак исходной функции. Это необходимо по той причине, что этим же знаком будет обладать функция находящаяся в правой части формулы.
3. Если углы имеют вид ±α + 2πz и π ± α + 2πz, то исходная функция не меняет своего названия, чего не скажешь об углах π/2 ± α + 2πz и 3π/2 ± α + 2πz. Их исходная функция будет называться кофункцией. Синус – на косинус. Тангенс – на котангенс.

Пример: с углом 777 градусов.

Действуем по описанному выше алгоритму:

1. Представляем заданный условием угол в нужном виде: 777° = 57° + 360° ⋅ 2; 777° = 90° − 33° + 360° ⋅ 2.
2. Далее ищем знак функции. Так как угол 777 градусов лежит в первой четверти, то синус угла будет со знаком “+”.
3. Следовательно, sin 777° = sin (57° + 360° ⋅ 2) = sin 57°; sin 777° = sin (90° − 33° + 360° ⋅ 2) = cos 33°.