Обратная функция

Начнем разбор данной темы с того, что познакомимся с термином “обратная функция”.

Для того чтобы обозначить обратную функцию, используют следующее буквенное обозначение: f^-1(x).

Нельзя не отметить и тот факт, что не все существующие функции являются обратимыми. Для наглядности приведем пример: y = x^2. Ее невозможно назвать обратной функцией, ведь два противоположных значения x будут давать одно и то же значение переменной y. Допустим возьмем x = 2 и x = (-2), тогда y = 2*2 = 4 и y = (-2)*(-2) = 4. Что и требовалось доказать.

Теперь разберем случай, когда множество возможных значений уменьшили с помощью интервала [0; +∞). При таких условиях обратной функцией к изначально данной параболе станет функция y = √x. Как мы видим, существование обратной функции теперь возможно, так как благодаря введенному интервалу аргумент будет принимать исключительно положительные значения.

Теперь обозначим условия, без которых обратимость функции невозможна.

Иными словами к функции f(x) можно найти обратную функцию только в том случае, если следующие условия полностью удовлетворены:

• Исходная функция f(x) либо непрерывно возрастает, либо непрерывно убывает на заданной условием области допустимых значений X;
• Для одного значения функции существует только одно значение независимой переменной x.

Алгоритм поиска обратной функции

Чтобы для заданной условием функции найти обратную, необходимо соблюдать следующий порядок действий:

• Берем уравнение y = f(x) и выражаем из него переменную x. После осуществления всех преобразовательных операций мы должны получить функцию x = g(y);
• Далее мы просто заменяем переменную x на y, и наоборот, y на x. Получившуюся функцию y = f^-1(x) можно смело называть обратной y = f(x).

Характеристики обратной функции

Теперь поговорим о том, какими свойствами обладает обратная функция. Эти знания нам помогут в дальнейшем решении различных задач, а также в построении графиков.

Итак, обратным функциям свойственны следующие положения:

• Мы знаем, что обратная функция — это отображение зависимости между x и y, а именно x от y, поэтому область определения y = f^-1(x) будет являться областью значений изначальной функции y = f(x), а область значений напротив будет областью определений. В буквенной записи это выглядит так: E(f^-1(x)) = D(f(x)) и D(f^-1(x)) = E(f(x));
• Функции f(x) f^-1(x) считаются взаимно обратными. Говоря простым языком, f(x) — обратная к f^-1(x) и f^-1(x) — обратная к f(x);
• Графики функций f(x) и f^-1(x) симметричны. Симметрия же проходит относительно прямой y = x.

Обратная функция: теоремы

Обозначим теперь главные теоремы, касающиеся разбираемой нами темы.

Теорема №1

Обратная функция f^-1(x) существует для заданной функции f(x) тогда, когда функция f(x) является монотонно возрастающей или монотонно убывающей на некотором множестве значений X.

Теорема №2

Если изначальная функция f(x) обладает такими свойствами, как непрерывное возрастание или убывание на конкретном множестве X, то для нее существует обратная функция f^-1(x). Но в этом случае f^-1(x) будет также монотонно возрастающей или убывающей, но уже на конкретной области Y, где Y — область значений f(x).

Таким образом, разобранная нами тема достаточно трудна в понимании, поэтому требует для своего изучений достаточного уровня усидчивости и внимательности. Также тут необходимо знание свойств функций. Поэтому если вы понимаете, что предыдущие темы у вас плохо закрепили, то вернитесь к ним и изучите подробнее, так как в ином случае весь последующий материал будет также плохо усвоен.