Синус и косинус. Тангенс и котангенс

В данной теме мы разберем такие понятия, как синус и косинус, тангенс и котангенс. Сразу отметим, что раньше все вышеописанные термины выражались путем соотношения конкретных сторон треугольника, имеющего прямой угол. 

Следовательно, можем дать определение нашим тригонометрическим функциям:

  • Так синус угла, обозначаемый как sin a — это частное противолежащего катета угла к гипотенузе.
  • Косинус же угла, который записывается cos a — это частное уже прилежащего катета угла к все той же гипотенузе.
  • Тангенс угла, записываемый как tg a — это частное синуса к косинусу или противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс угла с обозначением ctg a — это частное косинуса к синусу или прилежащего катета к противолежащему.

Важно

Вышеописанные определения составлены относительно острого угла прямоугольного треугольника. Пример можете увидеть на рисунке, представленном ниже.

Как мы видим, треугольник обладает прямым углом, который обозначен точкой C. Тогда синусом острого угла A будет отношение стороны BC (катет) к стороне AB (гипотенуза).

Необходимо помнить, что знание определений всех рассматриваемых нами функций в совокупности с данными о длине сторон треугольника помогут нам в вычисление значений этих самых функций.

Также отметим, что синус и косинус, а именно их значения заключены в интервал от -1 до 1 включительно. Говоря простым языком, функции не выходят за рамки указанных чисел. С тангенсом и котангенсом другая ситуация: их область значений — это все действительные числа или, как еще говорят, вся числовая прямая.

Угол поворота

Все вышеперечисленные определения сформулированы относительно острых углов, но не стоит забывать и о таком понятии, как угол поворота. Он, в отличие от острых углов, не имеет градусных ограничений.

Угол поворота, как правило, может быть выражен как в виде всевозможных натуральных чисел, лежащих на интервале (-∞; +∞), так и в виде радиан.

Исходя из угла поворота, синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу можно дать еще один вариант терминов. Но для начала рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена уже привычная для нас окружность, удовлетворяющая все необходимые для ее построения условия.

Возьмем точку A с координатами (1; 0) и провернем ее вокруг центра окружности на определенный угол, пусть будет a. В итоге мы должны оказаться в некоторой точке A1. Теперь можем дать нашим функциям определение, которое формируется относительно координат точки A1(x; y):

  • sin a = y;
  • cos a = х;
  • tg a = y/x;
  • ctg a = x/y.

Важно

Если синус и косинус свойственны всем углам поворота, то тангенс и котангенс нет. Как мы уже знаем, для их вычисления нам необходимо x поделить на y или наоборот. Однако это невозможно, если полученная после поворота точка имеет абсциссу (0; 1) или (0; -1).

С углом поворота разобрались, поэтому теперь перейдем к обычным числам.

Определение

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Для наглядности приведем пример: синус числа 12 равен синусу угла поворота величиной 12 рад. Но помимо этого способа определений функций существует еще один. Ему как раз стоит уделить чуть больше внимания.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Как раз через координаты этой точки и будут вычисляться значения рассматриваемых нами функций.

Исходная точка, откуда мы будем двигаться, это точка A, имеющая координаты (1; 0).

Для получения положительного числа t требуется двигаться по окружности против часовой стрелки, а для отрицательного числа t — по окружности по часовой стрелки.

Теперь перейдем непосредственно к нашим терминам:

  • Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t.  sin t = y
  • Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t.  cos t = x
  • Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t = y/x = sin t/cos t. Для котангенса необходимо поменять местами числитель и знаменатель.

И в заключении ознакомимся с таблицей основных формул, касаемых рассматриваемых нами тригонометрических функций:

Данная шпаргалка очень полезна на уроках математики, особенно в первые дни, после изучения данной темы. Благодаря ей вы сможете быстро ознакомиться с основными формулами и применить их в решаемой задаче. Поэтому настоятельно рекомендуем ее распечатать или написать от руки, что будет еще лучше. При необходимости туда можно добавить еще какую-то полезную информацию о данных функциях.

Как уже было сказано выше, представленная таблица не отражает всех свойств функции, поэтому запишем их так.

Свойство №1

sin (-t) = -sin t;

cos (-t) = cos t;

tg (-t) = — tg t;

ctg (-t) = — ctg t.

Свойство №2

sin (t + 2πk) = sin t;

cos (t + 2πk) = cos t, где k ∈ Z.

Свойство №3

sin (t + π) = -sin t;

cos (t + π) = -cos t;

tg (t + πk) = tg t;

ctg (t + πk) = ctg t, где k ∈ Z.

Свойство №4

sin (t + π/2) = cos t;

cos (t + π/2) = sins t.

Подведем теперь итог нашего занятия:

  • Обозначили наименование для декартовых координат;
  • Дали несколько вариантов определений для изучаемых нами формул;
  • Поговорили о свойствах формул;
  • Ознакомились с таблицей самых распространенных значений формул.

Таким образом, данная тема требует заучивание множества формул и определений. Это необходимо делать в обязательном порядке, так как иначе вы не сможете на достаточном уровне освоить предоставленный вам материал. Также стоит особое внимание уделять практике решения задач с изученными формулами.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх