Синус и косинус. Тангенс и котангенс

В данной теме мы разберем такие понятия, как синус и косинус, тангенс и котангенс. Сразу отметим, что раньше все вышеописанные термины выражались путем соотношения конкретных сторон треугольника, имеющего прямой угол.

Следовательно, можем дать определение нашим тригонометрическим функциям:

• Так синус угла, обозначаемый как sin a — это частное противолежащего катета угла к гипотенузе.
• Косинус же угла, который записывается cos a — это частное уже прилежащего катета угла к все той же гипотенузе.
• Тангенс угла, записываемый как tg a — это частное синуса к косинусу или противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс угла с обозначением ctg a — это частное косинуса к синусу или прилежащего катета к противолежащему.

Как мы видим, треугольник обладает прямым углом, который обозначен точкой C. Тогда синусом острого угла A будет отношение стороны BC (катет) к стороне AB (гипотенуза).

Необходимо помнить, что знание определений всех рассматриваемых нами функций в совокупности с данными о длине сторон треугольника помогут нам в вычисление значений этих самых функций.

Также отметим, что синус и косинус, а именно их значения заключены в интервал от -1 до 1 включительно. Говоря простым языком, функции не выходят за рамки указанных чисел. С тангенсом и котангенсом другая ситуация: их область значений — это все действительные числа или, как еще говорят, вся числовая прямая.

Угол поворота

Все вышеперечисленные определения сформулированы относительно острых углов, но не стоит забывать и о таком понятии, как угол поворота. Он, в отличие от острых углов, не имеет градусных ограничений.

Угол поворота, как правило, может быть выражен как в виде всевозможных натуральных чисел, лежащих на интервале (-∞; +∞), так и в виде радиан.

Исходя из угла поворота, синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу можно дать еще один вариант терминов. Но для начала рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена уже привычная для нас окружность, удовлетворяющая все необходимые для ее построения условия.

Возьмем точку A с координатами (1; 0) и провернем ее вокруг центра окружности на определенный угол, пусть будет a. В итоге мы должны оказаться в некоторой точке A1. Теперь можем дать нашим функциям определение, которое формируется относительно координат точки A1(x; y):

• sin a = y;
• cos a = х;
• tg a = y/x;
• ctg a = x/y.

С углом поворота разобрались, поэтому теперь перейдем к обычным числам.

Для наглядности приведем пример: синус числа 12 равен синусу угла поворота величиной 12 рад. Но помимо этого способа определений функций существует еще один. Ему как раз стоит уделить чуть больше внимания.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Как раз через координаты этой точки и будут вычисляться значения рассматриваемых нами функций.

Исходная точка, откуда мы будем двигаться, это точка A, имеющая координаты (1; 0).

Для получения положительного числа t требуется двигаться по окружности против часовой стрелки, а для отрицательного числа t — по окружности по часовой стрелки.

Теперь перейдем непосредственно к нашим терминам:

• Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t.  sin t = y
• Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t.  cos t = x
• Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t = y/x = sin t/cos t. Для котангенса необходимо поменять местами числитель и знаменатель.

И в заключении ознакомимся с таблицей основных формул, касаемых рассматриваемых нами тригонометрических функций:

Данная шпаргалка очень полезна на уроках математики, особенно в первые дни, после изучения данной темы. Благодаря ей вы сможете быстро ознакомиться с основными формулами и применить их в решаемой задаче. Поэтому настоятельно рекомендуем ее распечатать или написать от руки, что будет еще лучше. При необходимости туда можно добавить еще какую-то полезную информацию о данных функциях.

Как уже было сказано выше, представленная таблица не отражает всех свойств функции, поэтому запишем их так.

Свойство №1

sin (-t) = -sin t;

cos (-t) = cos t;

tg (-t) = — tg t;

ctg (-t) = — ctg t.

Свойство №2

sin (t + 2πk) = sin t;

cos (t + 2πk) = cos t, где k ∈ Z.

Свойство №3

sin (t + π) = -sin t;

cos (t + π) = -cos t;

tg (t + πk) = tg t;

ctg (t + πk) = ctg t, где k ∈ Z.

Свойство №4

sin (t + π/2) = cos t;

cos (t + π/2) = sins t.

Таким образом, данная тема требует заучивание множества формул и определений. Это необходимо делать в обязательном порядке, так как иначе вы не сможете на достаточном уровне освоить предоставленный вам материал. Также стоит особое внимание уделять практике решения задач с изученными формулами.