Тригонометрические функции числового и углового аргументов

Разбор тригонометрической функции

И начнем мы разбор нашей темы с разбора тригонометрической функции числового аргумента, пусть им будет t. Что касается функций, то они имеют следующий вид: y = cos t, y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

Интересен тот факт, что зная значение только одной функции, мы сможем найти все остальные. Но для этого конечно же нам помогут различные формулы.

Для наглядности приведем пример и возьмем формулу cos2 t + sin2 t = 1. Преобразуем ее так, чтобы получилась новая нужная нам формула.  Сделаем мы это путем деления всех членов формулы на cos2 t, где t ≠ 0 или, как еще говорят, t ≠ π/2 + πk.

Выглядеть все это будет следующим образом:

  cos2 t        sin2 t             1

——— + ———  =  ———

 cos2 t        cos2 t          cos2 t

Теперь начинаем упрощать. Так, первое слагаемое, как мы видим, у нас будет равняться 1. Второе слагаемое – это отношение синуса и косинуса, а мы знаем, что это одна из формул тангенса. Таким образом, второе слагаемое равно tg2 t.

И теперь наша формула приобрела вид:

               1                        π

1 + tg2 t  =  ———,     где t ≠ — + πk, k – целое число.

              cos2 t                    2

Рассмотрим еще один пример и возьмем все ту же формулу cos2 t + sin2 t = 1. Начинаем ее преобразовывать с того, что поделим на sin2 t, где t ≠ πk.

У нас должна получиться запись следующего вида:

  cos2 t        sin2 t             1

——— + ———  =  ———,   где t ≠ πk + πk, k – целое число

  sin2 t         sin2 t          sin2 t

Перейдем к упрощению: первое слагаемое у нас – это частное косинуса на синус, а как мы знаем по ранее изученным определениям, так у нас выражается котангенс. Значит первое слагаемое – ctg2 t. Второе слагаемое, как мы видим, переходит в 1.

Тогда мы получаем:

                         1

1 + ctg2 t  =  ———,   где t ≠ πk, k – целое число.

                         sin2 t

Таким образом, можно сделать вывод, что залог успешной работы с формулами и вывод основных тригонометрических тождеств зависит от двух факторов: первое – знание тригонометрических формул и второе – понимание базовой математики. Сразу отметим, что самостоятельный вывод тождеств намного лучше, нежели их заучивание наизусть. Дело в том, что в первом случае вы всегда сможете получить нужное вам выражение, а во второй ситуации есть риск забывания информации. 

Для примера возьмем ту же самую сумму единицы и квадрата тангенса. Кто-то ее зазубривает, а кто-то, имея базовые знания о тангенсе, выводит сам. Плюс навык работы с дробями, а именно умение приводить их к одному знаменателю и складывать, и вы получаете нужный результат:

                           sin2 t         1         sin2 t          cos2 t + sin2 t             1

1 + tg2 t  =  1 + ———  =  —  +  ———  =  ——————  =  ———

                          cos2 t         1          cos2 t               cos2 t                cos2 t

По такому же принципу производят поиск всех остальных известных вам тождеств.

Теперь перейдем к разбору тригонометрических функций углового аргумента. И начнем с того, что такими функциями являются у = cos t, у = sin t, у = tg t, у = ctg t, где переменная t выступает не только в роли числового аргумента, но и в роли углового аргумента или, как еще говорят, меры угла.

И как уже можно было понять, для поиска значений функций нам понадобиться проводить работу с числовой окружностью, а также с системой координат.

Однако тут есть нюансы, а именно соблюдение ряда условий:

1. Как мы знаем, центр окружности совпадает с центром оси координат. Но в данном случае эта же точка должна выступать в роли вершины угла;
2. Из 3-х сторон треугольника одна должна быть выражена положительным лучом оси x. Тогда ордината точки, где получается пересечение окружности и второй стороны треугольника, будет выражать синус заданного угла, в то время как абсцисса этой же точки – косинус.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий представленные выше слова. Например, изобразим угол, сторонами которого являются: положительный луч оси x и выходящая из начала оси координат вторая сторона, имеющая угол выход 30º. Следовательно, точка, где находится пересечение второй стороны с окружностью, будет равна π/6. Зная ординату и абсциссу точки, мы знаем и косинус с синусом, так как их значения соответственно равны. Тогда получаем, что косинус и синус нашего угла:

   √3       1

 ——; ——

    2        2

Теперь, имея в распоряжении значения синуса и косинуса, можно легко найти и тангенс с котангенсом.

Как мы видим, числовая окружность – достаточно удобный способ поиска изучаемых нами функций.

Однако есть способ, который считается более простым – применение формул:

                                                  πα

                             sin αº = sin ——

                                                 180

                                                  πα

                            cos αº = cos ——

                                                  180

В качестве примера разберем задачу: найдите синус и косинус угла, имеющего градусную меру 60º.

Решение:

                        π · 60                π         √3

sin 60º  =  sin ———  =  sin —— = ——

                         180                  3          2

                           π        1

cos 60º  =  cos —— = —

                           3        2

Пояснение: мы нашли, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Исходя из этого, мы находим в таблице значения этой точки – что и является решением нашего примера.