Логарифм и его свойства.

Начнем изучение данной темы с того, что рассмотрим простое показательное уравнение, а также запишем его решение в графическом виде.

2^x = 4;

x = 2.

Также там необходимо провести прямую y = 4, которая будет пересекаться с уже имеющимся чертежом в точке (2; 4). Это доказывает, что единственным верным корнем уравнения является 2.

При желании можно рассмотреть аналогичный пример 2^x = 8, для которого корнем будет число 3.

Попробуем на том же графике изобразить решение уравнения 2^x = 6. Как мы видим, решение действительно есть и оно только одно, однако, из-за того, что корень уравнения лежит между двумя целыми числами, мы не можем узнать точное его значение.

Нетрудно догадаться, что таких уравнений немало. Именно поэтому и был введен такой символ, как log2.

Таким образом, корнем нашего уравнения 2^x = 6 будет log2 6.

Если говорить обобщенно, то для любого уравнения вида: 2^x = b, при b больше 0, при решении можно применить запись: x = log2 b.

Однако применения логарифмов не ограничивается числами со степенью 2. Используя новый символ, можно записать корень любого уравнения, подходящего под общую запись: a^x = b, где b и a будут больше 0, но a еще не равняется 1. В этом случае можно записать решение так: x = loga b.

Логарифмом положительного числа b по положительному, не равному единице основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Для лучшего понимания приведем пример: loga x = c все равно, что a^x = b/

Разберем стандартную запись логарифма на составные части, чтобы в ней было проще ориентироваться.

loga b = x, где log — это математическая запись логарифма, a — основание, которое должно быть больше 0, но не равняться 1, b — логарифмируемое число, обязательно больше 0.

Важно

Не забывайте, что положительным должно быть только основание логарифма, для его значения это совсем необязательное условие, так как значение — это степень. Ну к примеру, log2 16 = 4, потому что 2^4 = 16, а вот log3 1/9 = -2, ведь 3^-2 = 1/9.

Формулы логарифмов, взятые из его определения

В них входят следующие формулы:

  • Если в логарифме число и основание имеют одно и то же значение, то он будет равен 1, Например, log5 5 = 1;
  • Все логарифмы, в которых числом является 1, равны 0: loga 1 = 0; log8 1 = 0 и т.д;
  • Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, будет таким же, как и показатель степени: loga a^b = b; log7 7^6 = 6.

Разновидность логарифмов

Логарифмы, как правило, бывают двух видов:

  • Десятичные; 
  • Натуральные.

Как уже можно было понять из названия, десятичный логарифм — это логарифм, основание которого равно 10. Обычно его запись выглядит не привычным для нас способом log10 b, а сокращенным — lgb. Что касается произношения записи, то оно следующее: десятичный логарифм числа b.

Натуральный же логарифм также отличается своим основанием — e. Оно обычно приравнивается 2.7, хотя это не точное его значение. Обозначение здесь тоже не совсем стандартное: вместо loge b мы записываем lnb. Произносится же это как натуральный логарифм числа b.

Основное логарифмическое тождество

Оно выглядит следующим образом: a^loga b = b. А чтобы было проще усвоить эту информацию, приведем простые примеры: 4^log4 7 = 7; 8^log8 4 = 4; 5^log5 6 = 6 и т.д.

Также напомним, что loga b = c то же самое, что и a^c = b.

Отметим, что операцию по осуществлению поиска логарифма числа называют логарифмированием. Логарифмирование — это не что иное, как операция, являющаяся обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. 

Например: возведение в степень — это 5^2 = 25, а логарифмирование — log5 25 = 2.

Важно

Если a и b — положительные числа, где a не равняется 1, то для любого числа r будет верно следующее неравенство: loga b^r = r * loga b. Иными словами логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени. Разберем пример: log2 36 = log2 6^2 = 2log2 6.

При условии, что a и b являются положительными числами, но a не равняется 1, можно сказать, что для любого числа r справедливо равенство: loga^r b = 1/r loga b, т.е. логарифм с основанием степени числа a равен произведению единицы деленной на показатель степени и логарифма числа b по основанию a. Например: log27 3 = log3^3 3 = 1/3 log3 3 = ⅓ * 1 = ⅓. 

Также при произведении двух логарифмов с положительными числами необходимо сложить эти числа логарифмов, т.е. loga b * c = loga b + loga c. Для лучшего понимания разберем: log6 12 + log6 3 = log6 12 * 3 = log6 36 = log6 6^2 = 2.

При условии, что a, b и c — положительные числа, а a еще и не равняется 1, справедливо такое равенство: loga b/c = loga b — loga c, т.е. логарифм дроби — это разность логарифмов числителя и знаменателя. Например: og3 45 — log3 15 = log3 45/15 = log3 3 = 1.

Таким образом, для решения логарифма необходимо знать достаточное количество его свойств. Благодаря им вы можете как найти само решение, так и в значительной мере его упростить. 

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх