Показательные уравнения

Начнем данную тему с того, что вспомним термин “показательные уравнения”.

Что такое показательные уравнения

Самым элементарным примером будет являться уравнение вида a^x = b, где a строго больше 0, но не равняется 1.

Что касается его корней, то они зависят от знака:

• Если b — положительное число, то решением уравнения будет являться только один корень. Доказать данное утверждение можно путем использования знаний о монотонности функции и теоремы о корне;
• Если же b отрицательное число или 0, то у функции нет решений. Это можно доказать, вспомнив свойства показательной функции.

Любое показательное уравнение можно алгебраически преобразовать и получить стандартное уравнение.

А уже его решают, применяя различные методы, в число которых входят:

1. Приведение к общему основанию. Для наглядности приведем буквенную запись этого метода: a^f(x) = a^g(x) = f(x) = g(x);
2. Метод оценки;
3. Графический метод;
4. Метод введения новых переменных, т.е. мы заменяем слагаемое со степенью на неизвестное, а полученное значение нашей неизвестной приравниваем к заменяемому слагаемому и готовое уравнение решаем;
5. Метод разложения на множители.

Теперь поговорим подробнее о методе приведения к одному основанию. Начнем с того, что он основан на свойстве степеней о том, что если 2 степени равны между собой и имеют одинаковые основания, то показатели также будут одинаковыми. Иными словами уравнение можно и нужно свести к виду: a^f(x) = a^g(x) равносильно f(x) = g(x).

Решение данным методом имеет определенный алгоритм действий:

• Для начала уравниваем основания степеней;
• Далее уже приравниваем непосредственно показатели степеней.

Для лучшего понимания решим уравнение: 2^x = 16.

Действуем по вышеописанному алгоритму и уравниваем основания степеней, а именно представим 16 в виде 2 в какой-то степени:

2^x = 2^4;

Теперь приравняем показатели степеней:

x = 4.

Таким образом, наш ответ — 4.

Рассмотрим еще один случай, когда в уравнении разные основания, но одинаковые показатели степеней, например: 2^x = 3^x.

Чтобы привести к общему знаменателю, разделим обе части уравнения на 3^x и получим:

2^x/3^x = 1;

Теперь вынесем степень за скобки:

(⅔)^x = 1;

Далее, нам необходимо 1 представить в виде такой же дроби, что и в левой стороне уравнения. Зная свойства степеней, мы можем представить любое число в виде 1, если возведем его в 0 степень:

(⅔)^x = (⅔)^0;

Осталось только приравнять показатели степеней: x = 0.

Ответ: x = 0.

Приведем пример того, как может быть задействован в решении уравнений метод разложения на множители: 5 * 5^x — ⅕ * 5^x = 24.

Как вы могли заметить, в левой части есть общий множитель — 5^x. Вынесем его за скобки:

5^x(5 — ⅕) = 24;

Теперь выполним вычитание в скобках. Для этого необходимо привести числа к общему знаменателю 25:

5^x * 24/5 = 24;

Произведем деление обеих частей уравнения на дробь 24/5 и получим:

5^x = 5;

Можно приравнивать показатели степеней: x = 1/

Ответ: x = 1.

Решим уравнение, где необходимо воспользоваться введением переменной, чтобы разобраться в этом не совсем простом методе: 9^x — 4 * 3^x — 45 = 0.

Чтобы осуществить введение переменной, нам необходимо преобразовать 9^x: 9^x = (3^2)^x = 3^2x = (3^x)^2.

Теперь вводим переменную t = 3^x, где t строго больше 0. Запишем получившееся уравнение:

t^2 — 4t — 45 = 0;

Как уже можно было заметить — это квадратное уравнение, для решения которого необходимо найти корни. Сделать это проще всего по дискриминанту. Осуществив все эти действия, у вас должно получиться:

t1 = -5 и t2 = 9;

Приравняем эти корни к 3^x:

3^x = -5 (нет решений);

3^x =9, x = 2.

Ответ: 2.

Что касается метода оценки, то для него используется теорема и свойства монотонности функции.

Вспомним теорему о корне:

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Покажем наглядно на решении уравнения 3^x = 4 — x.

Перепишем его в немного другом виде, а именно: 3^x +x = 4.

Если x = 1, то 3^1 + 1 = 4; 4 = 4, следовательно, 1 — корень уравнения. Но нам необходимо доказать, что он единственный.

Для этого отметим, что функция f(x) возрастает на множестве действительных чисел, так же как это делает и g(x) = x. Это в свою очередь значит, что h(x) = f(x) + g(x) также возрастает на R (если возрастающие функции сложить, то получится возрастающая сумма). Это как раз и доказывает, что x = 1 является единственным верным корнем рассматриваемого нами уравнения.

Ответ: 1