Показательные уравнения
Начнем данную тему с того, что вспомним термин “показательные уравнения”.
Что такое показательные уравнения
Самым элементарным примером будет являться уравнение вида a^x = b, где a строго больше 0, но не равняется 1.
Что касается его корней, то они зависят от знака:
- Если b – положительное число, то решением уравнения будет являться только один корень. Доказать данное утверждение можно путем использования знаний о монотонности функции и теоремы о корне;
- Если же b отрицательное число или 0, то у функции нет решений. Это можно доказать, вспомнив свойства показательной функции.
Любое показательное уравнение можно алгебраически преобразовать и получить стандартное уравнение.
А уже его решают, применяя различные методы, в число которых входят:
- Приведение к общему основанию. Для наглядности приведем буквенную запись этого метода: a^f(x) = a^g(x) = f(x) = g(x);
- Метод оценки;
- Графический метод;
- Метод введения новых переменных, т.е. мы заменяем слагаемое со степенью на неизвестное, а полученное значение нашей неизвестной приравниваем к заменяемому слагаемому и готовое уравнение решаем;
- Метод разложения на множители.
Теперь поговорим подробнее о методе приведения к одному основанию. Начнем с того, что он основан на свойстве степеней о том, что если 2 степени равны между собой и имеют одинаковые основания, то показатели также будут одинаковыми. Иными словами уравнение можно и нужно свести к виду: a^f(x) = a^g(x) равносильно f(x) = g(x).
Решение данным методом имеет определенный алгоритм действий:
- Для начала уравниваем основания степеней;
- Далее уже приравниваем непосредственно показатели степеней.
Для лучшего понимания решим уравнение: 2^x = 16.
Действуем по вышеописанному алгоритму и уравниваем основания степеней, а именно представим 16 в виде 2 в какой-то степени:
2^x = 2^4;
Теперь приравняем показатели степеней:
x = 4.
Таким образом, наш ответ – 4.
Рассмотрим еще один случай, когда в уравнении разные основания, но одинаковые показатели степеней, например: 2^x = 3^x.
Чтобы привести к общему знаменателю, разделим обе части уравнения на 3^x и получим:
2^x/3^x = 1;
Теперь вынесем степень за скобки:
(⅔)^x = 1;
Далее, нам необходимо 1 представить в виде такой же дроби, что и в левой стороне уравнения. Зная свойства степеней, мы можем представить любое число в виде 1, если возведем его в 0 степень:
(⅔)^x = (⅔)^0;
Осталось только приравнять показатели степеней: x = 0.
Ответ: x = 0.
Приведем пример того, как может быть задействован в решении уравнений метод разложения на множители: 5 * 5^x – ⅕ * 5^x = 24.
Как вы могли заметить, в левой части есть общий множитель – 5^x. Вынесем его за скобки:
5^x(5 – ⅕) = 24;
Теперь выполним вычитание в скобках. Для этого необходимо привести числа к общему знаменателю 25:
5^x * 24/5 = 24;
Произведем деление обеих частей уравнения на дробь 24/5 и получим:
5^x = 5;
Можно приравнивать показатели степеней: x = 1/
Ответ: x = 1.
Решим уравнение, где необходимо воспользоваться введением переменной, чтобы разобраться в этом не совсем простом методе: 9^x – 4 * 3^x – 45 = 0.
Чтобы осуществить введение переменной, нам необходимо преобразовать 9^x: 9^x = (3^2)^x = 3^2x = (3^x)^2.
Теперь вводим переменную t = 3^x, где t строго больше 0. Запишем получившееся уравнение:
t^2 – 4t – 45 = 0;
Как уже можно было заметить – это квадратное уравнение, для решения которого необходимо найти корни. Сделать это проще всего по дискриминанту. Осуществив все эти действия, у вас должно получиться:
t1 = -5 и t2 = 9;
Приравняем эти корни к 3^x:
3^x = -5 (нет решений);
3^x =9, x = 2.
Ответ: 2.
Что касается метода оценки, то для него используется теорема и свойства монотонности функции.
Вспомним теорему о корне:
Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a – любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.
Покажем наглядно на решении уравнения 3^x = 4 – x.
Перепишем его в немного другом виде, а именно: 3^x +x = 4.
Если x = 1, то 3^1 + 1 = 4; 4 = 4, следовательно, 1 – корень уравнения. Но нам необходимо доказать, что он единственный.
Для этого отметим, что функция f(x) возрастает на множестве действительных чисел, так же как это делает и g(x) = x. Это в свою очередь значит, что h(x) = f(x) + g(x) также возрастает на R (если возрастающие функции сложить, то получится возрастающая сумма). Это как раз и доказывает, что x = 1 является единственным верным корнем рассматриваемого нами уравнения.
Ответ: 1
Наши репетиторы помогут
-
Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны
-
Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам
-
Повысить успеваемость по предметам