Логарифмические неравенства

Разбор данной темы мы начнем с того, что разберемся с термином “простейшие логарифмические неравенства”.

Что такое простейшие логарифмические неравенства

Теперь поговорим о решении простейших логарифмических неравенств.

Здесь есть два случая:

• Когда a > 1;
• Когда 0 < a < 1.

В первом случае loga x > b равносильно loga x > loga a^b и все это еще раз равносильно x > 0; x < a^b.

Также в первом случае можно встретить и loga x < b равносильно loga x < loga a^b и это также равносильно системе: x > 0; x < a^b.

Во втором же случае loga x > b равносильно loga x > loga a^b, что в свою очередь также равно системе: x > 0; x < a^b.

Еще один вариант второго случая, это: loga x < b равносильно loga x < loga a^b и это также равносильно системе: x > 0; x > a^b.

Для наилучшего закрепления теоретического материала, необходимо применить его на практике. Это мы сейчас и сделаем путем решения неравенства: log3 x < 2.

Чтобы решить этот пример, нам необходимо преобразовать правую его часть в логарифм по основанию 3: 2 = log3 3^2 = log3 9.

Теперь добавим получившийся член в неравенство и получим: log3 x < log3 9.

Смотрим на основание логарифма: 3 больше 1, а значит решаемое нами неравенство равносильно системе: x < 9 ; x > 0. Это и является нашим множеством решения, которое мы сейчас изобразим на координатной прямой:

Заметьте, что точки 0 и 9 выколотые, поскольку неравенство строгое. Как мы видим, нашим решением является как раз промежуток от 0 до 9. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ (0; 9).

Рассмотрим еще один пример: log ⅓ (5x — 1) > 0. Начать решение стоит с преобразования правой части неравенства в логарифм по основанию ⅓: 0 = log ⅓ 1.

Теперь запишем общее неравенство: log ⅓ (5x — 1) > log ⅓ 1.

После этого необходимо посмотреть на основание неравенства которое 0 < ⅓ < 1, откуда следует, что пример равносилен системе: 5x — 1 < 1; 5x — 1 > 0, упрощенный вариант которой выглядит так: x < 0,4; x > 0,2.

При желании вы также можете составить для себя схематическое представление этого решения, а мы сразу запишем ответ.

Ответ: x ∈ (0,2; 0,4).

Теперь поговорим о неравенствах вида loga f(x) > loga g(x). Здесь необходимо знать, что при 0 < a < 1 данное неравенство можно приравнять к следующей системе: f(x) > 0; g(x) > 0; f(x) < g(x).

А если a > 1, то неравенство уже равносильно другой системе, в которую входят следующие примеры: f(x) > 0; g(x) > 0; f(x) > g(x).

Опять же закрепим теорию, решив в качестве примера неравенство log ½ (3x — 4) < log ½ (x — 2).

Чтобы решить наш пример, нам необходимо составить для него равносильную систему: 3x — 4 > 0; x — 2 > 0; 3x — 4 > x — 2. Теперь нам необходимо ее решить.

После ряда преобразований мы получаем: x > 1 ⅓ ; x > 2; x > 1. Как вы могли заметить, во всех трех неравенствах x больше ответа, а это значит, что среди 3 получившихся чисел надой найти наибольшее. Им является 2. Это и есть наш ответ.

Если же вам трудно представить график координатной прямой в уме, то лучше его все-таки изобразить на бумаге.

Ответ: x ∈ (2; + ∞).

И заключительным моментом, который мы разберем в рамках этой темы, является решение логарифмических неравенств, сводящихся к простейшим логарифмическим неравенствам.

В качестве примера возьмем log3 x + log√3 x + log ⅓ x ⩽ 6. Для решения нам необходимо все логарифмы привести к основанию 3:

log√3 x = log3 ½ x = 2 log3 x;

log ⅓ x = log3-1 x = — log3 x;

После все преобразования у нас получается неравенство: log3 x + 2log3 x — log3 x ⩽ 6. Как мы видим, у нас есть подобные слагаемые, которые нужно сократить: 2log3 x ⩽ 6. Разделим обе части уравнения на 2, тем самым избавляясь от лишних коэффициентов: log3 x ⩽ 3.

Остается только решить простейшее логарифмическое неравенство, представив правую его часть в виде логарифма с основанием 3: 3 = log3 3^3 = log3 27. Конечное неравенство получается равносильным системе: x > 0; x ⩽ 27. Это и есть наш ответ.

Ответ: x ∈ (0; 27].