Логарифмические уравнения

Первым, с чего стоит начать разбор данной темы, будет повторение термина “логарифмическое уравнение”.

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в том, чтобы от логарифмов перейти к уравнению без них. 

Стоит отметить и тот факт, что решение таких уравнений состоит из двух частей, которые в своей важности не уступают друг другу.

Ими являются:

• Поиск области допустимых значений, сокращенно ОДЗ. Говоря простым языком, ОДЗ – это та часть значений x, которая удовлетворяет условия, заданные в исходном примере. Этими условиями являются следующие утверждения: выражение, которое располагается под логарифмом должно быть исключительно положительным; основание же логарифма должно удовлетворять требование: a больше 0 и не равняется 1;
• Непосредственное осуществление решения самого уравнения.

Поговорим теперь об уравнении вида loga f(x) = b. Его также принято называть простейшим логарифмическим уравнением, в котором переменными a и b являются числами, а “a” строго больше 0 и не равняется 1.

Решить данное уравнение можно несколькими способами.

В них входят:

1. Использование определения логарифма;
2. Преобразование числа в логарифм: b = loga a^b.

Поговорим поподробнее о способе, основанном на применении определения логарифма. Именно благодаря этому мы можем получить равносильное уравнение, решение которого будет намного доступнее и легче, чем решение изначального примера.

loga f(x) = b равносильно f(x) = a^2.

Чтобы было проще усвоить полученную информацию приведем пример и решим его вместе с вами. Возьмем уравнение log2 x = 3. Его можно решить несколькими способами, которые мы уже обозначили выше.

Способ №1

По определению логарифма мы можем составить равносильное данному по условию примеру уравнение:

log2 x = 3;

x = 2^3;

x = 8.

Ответ: x = 8.

Способ №2

Как вы помните, любое число можно представить в виде логарифма: b = loga ab. Именно это нам и необходимо сделать с правой стороной уравнения log2 x = 3.

Чтобы не ошибиться при возведении числа в логарифм, необходимо следовать алгоритму:

1. b представляем в виде произведения с 1: b = b * 1;
2. Заменяем нашу 1 на loga a: b = b * loga a;
3. Затем множитель перед логарифмом перемещаем в показатель степени: b = loga a^b.

Вернемся к нашему уравнению log2 x = 3.

Представляем 3 в виде логарифма: 3 = 3 * 1 = 3 * log2 2 = log2 2^3 = log2 8.

Подставим получившийся логарифм в наше уравнение: log2 x = log2 8. Далее пускаем логарифм и получаем: x = 8.

Ответ: x = 8.

Что касается более сложных логарифмических уравнений, то их решают, используя при это сразу несколько методов, базирующихся на свойствах логарифма и его определении. Это необходимо для максимального упрощения данного выражения.

Инструменты, предназначенные для решения логарифмических уравнений

В качестве их используют:

• Сведение логарифмического уравнения к простейшему;
• Решение простейшего логарифмического уравнения;
• Проверка корней. Это делают путем подставления или проверки ОДЗ.

Попробуем решить простейшее логарифмическое уравнение и сводящееся к ним. Возьмем уравнение: log7 (-5-x) = 3. Для его решения воспользуемся определением логарифма и получим:

log7 (-5-x) = 3;

-5 – x = 7^3;

-x = 343 + 5;

x = -348.

Чтобы убедиться в правильности полученного корня, проведем проверку и подставим его в наше уравнение: log7 (-5+348) = log7 343 = 3. Все верно.

Ответ: -343.

Рассмотрим теперь уравнения, имеющие общую формулу loga f(x) = log2 g(x). Как правило, такие выражения решают, применяя метод потенцирования.

Уравнения, требующие для своего решения введение переменной, также заслуживают внимания. Переменная необходима тогда, когда в уравнении неоднократно встречается некоторое определенное выражение, например loga f(x) = t.