Показательные неравенства

Первое, что стоит отметить при изучении этой темы — это понятие показательных неравенств.

Что такое показательные неравенства

Методами решения показательных неравенств являются все те же способы, что и в показательных уравнениях, а именно:

• Приведение к общему основанию. Для наглядности приведем буквенную запись этого метода;
• Метод оценки;
• Графический метод;
• Метод введения новых переменных;
• Метод разложения на множители.

Решение всех показательных уравнений базируется на следующем: если a > 1, то неравенство a^f(x) > a^g(x) равносильно f(x) > g(x); если же 0 < a < 1, то неравенство a^f(x) > a^g(x) можно приравнять к f(x) < g(x).

Теперь на основе полученной теории перейдем к практике и решим неравенство 2^x < 8. Чтобы его решить, нам необходимо преобразовать правую часть примера как 2 в какой-то степени. Мы знаем, что 8 — это 2^3. Запишем преобразованное неравенство:

2^x < 2^3.  Теперь смотрим на основание: 2 > 1, значит знак неравенства оставляем неизменным. В таком случае опускаем основание и сохраняем знак:

x < 3.

Ответ: x ∈ (- ∞; 3).

Рассмотрим еще одно неравенство: (0,2)^x+1 < (0,2)^2x-3.

Как мы видим, о нас одинаковые основания, значит можно сразу их опустить. Но сначала посмотрим на само значение основания: 0 < 0,2 < 1. Это значит, что знак неравенства меняется на противоположный: x + 1 > 2x — 3. Теперь нам остается только решить линейное неравенство. Для начала переместим все неизвестные члены в левую сторону, а известные в правую и получим:

-x > -4. Умножим обе части на -1, тем самым избавимся от минуса.

x < 4.

Ответ: x ∈ (- ∞; 4).

Решим теперь неравенство 25^x > 125^3x — 2. Начнем свое решение с того, что преобразуем обе части неравенства, приведя его члены к основанию 5, путем перемножения степеней:

5^2x > (5^3)^3x-2;

5^2x > 5^9x-6.

Теперь, чтобы опустить основание, нам необходимо посмотреть на его значение: 5 больше 1, значит знак неравенства сохраняется:

2x > 9x — 6. Осталось только решить линейное неравенство. Для этого перенесем все члены с x в левую сторону, а остальные в правую:

-7x > -6. Умножим все неравенство на -1, чтобы убрать -, при этом знак меняется на противоположный.

7x < 6;

x < 7/6.

Ответ: x ∈ (- ∞; 6/7).

Рассмотрим подробнее метод разложения на множители. Как правило, его используют после того, как производили с неравенством различные преобразования, результатом которых стало образование степеней, совпадающих друг с другом как по основанию, так и по коэффициентам перед переменной в показатели степени.

Покажем применение этого метода на примере: (½)^x + (½)^x-2 > 5. Чтобы решить это неравенство, нужно преобразовать левую его часть, а именно разложить (½)^x-2:

(½)^x + (½)^x — (½)^-2 > 5. Как уже можно было заметить, у нас есть общий множитель, который мы вынесем за скобки и получим:

(½)^x *(1 + (½)^-2) > 5. Теперь нам необходимо вычислить значение в скобках:

(½)^x * (1 + 4) > 5;

(½)^x * 5 > 5. Теперь разделим все неравенство на 5, тем самым избавившись от лишних множителей.

(½)^x > 1. Дальше для решения нужно привести 1 в правой части к степени с основанием ½. А как мы знаем из изученных свойств степеней, 1 — это нулевая степень любого числа:

(½)^x > (½)^0. Теперь посмотрим на основание степени: 0< ½ < 1. Это означает, что при опускании оснований мы поменяем знак неравенства на противоположный:

x < 0.

Ответ: x ∈ (- ∞; 0).

Еще один важный метод — это введение новой переменной. Сразу перейдем к примеру, так как с этим способом вы уже знакомы.

4^2x — 5 — 4^x ≥ 0. Для решения нам понадобиться введение переменной t, которая будет равна 4^x, т.е. t = 4^x, где t строго больше 0. После замены мы получаем неравенство:

t^2 — 5 — t ≥ 0. Для решения воспользуемся методом интервалов, согласно которому у нас получится: (t — 4) (t — 1). Составим схематический рисунок:

Теперь вернемся к обратной замене: t ≤ 1; t ≥ 4 равносильно 4^x ≤ 1; 4^x ≥ 4. Для решения преобразуем правую часть равенства в степень с соответствующими правой части основаниями. Получаем: 4^x ≤ 4^0; 4^x ≥ 4^1.

Поскольку основание 4 больше 1, знак неравенств мы оставляем без изменений. Теперь можем опустить основания: x ≤ 0; x ≥ 1.

Ответ: x ∈ (- ∞; 0] U [1; + ∞).