Неопределённый интеграл

Разбор данной темы начнем с того, что разберемся с понятием неопределенного интеграла.

Что касается графического обозначения неопределенного интеграла функции y = f(x), то оно следующее: ഽf(x)dx.

Разберем вид неопределенного интеграла ഽf(x)dx = F(x) + C, где ഽ — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, dx — знак дифференциала, F(x) + C — множество первообразных функций.

Поговорим теперь о таблице неопределенных интегралов, которая, в свою очередь, основывается на таблице первообразных.

ഽdx = x + C;

ഽx^ndx = (x^n+1/n+1) + C;

ഽdx/x^2 = -1/x + C;

ഽsin x dx = -cos x + C;

ഽcos x dx = sin x + C.

Под словосочетанием “решить интеграл” понимается поиск определенной функции y = F(x) + C, при этом используя конкретные правила, приемы и таблицы.

Правила интегрирования

В их число входят: 

• Постоянный множитель при необходимости можно выносить за знак интеграла, например, ഽkudx = k * ഽudx;
• Интеграл от алгебраической суммы функций равносилен сумме интегралов от этих же функций по отдельности: ഽ(u +/- v)dx = ഽudx +/- ഽvdx.

Перейдем к закреплению полученной теории практикой. Для этого найдем интеграл ഽ3dx/x^2. Для этого нам необходимо воспользоваться уже знакомым правилом интегрирования о выносе постоянного множителя за знак интеграла. В нашем случае постоянным множителем является 3:

ഽ3dx/x^2 = 3ഽdx/x^2. Теперь нам необходимо вспомнить и применить свойство степени, имеющей отрицательный показатель. Это поможет нам найти неопределенный интеграл от степенной функции:

3ഽ(x^-2)dx = ((3x^-2+1)/-2+1) + C = (-3/x) + C.

Разберем еще один пример: ഽ(3 — x^5)dx. Здесь нам уже придется воспользоваться вторым правило интегрирования, в котором говорится об алгебраической сумме двух функций. В итоге у нас получится:

ഽ(3 — x^5)dx = ഽ3dx — ഽx^5dx. Теперь остается только найти неопределенные интегралы по таблице. Должно получится следующее:

3x — (x^5+1)/5+1 + C = 3x — x^6/6 + C.

Еще один интеграл, который мы найдем — это ഽ(3x^2 + 2x + 1)dx. Как вы могли заметить, это выражение аналогично предыдущему, поскольку мы здесь также применяем правило интегрирования об алгебраической сумме функций. Поэтому делим наш интеграл на части:

ഽ(3x^2 + 2x + 1)dx = ഽ3x^2dx + ഽ2xdx + ഽ1dx. Теперь мы видим, что 2 из 3 интегралов содержат постоянный множитель, который по правилу интегрирования мы можем вынести за знак интеграла. В итоге получим:

3ഽx^2dx + 2ഽxdx + ഽdx. На этом этапе нам осталось только найти неопределенные интегралы по таблице:

3 * x^3/3 + 2 * x^2/2 + x + C. Упростим выражения, перемножив дроби с коэффициентами: 

x^3 + x^2 + x + C.

Поглядим как находятся интегралы, содержащие корни: ഽ8x * (5√x^3)dx. И первым, что мы сделаем, будет преобразование подынтегральной функции. При этом будем использовать свойство степени с дробным показателем и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

5√x^3 = x * (x^⅗) = x^5/5 * x^⅗ = x^8/5. Следующим шагом будет поиск неопределенного интеграла от степенной функции:

ഽ8)x^8/5)dx = 8 ഽ(x^8/5)dx = 8 * ((x^8/5+1)/8/5 + 1) + C = 8 * ((x^13/5)/(13/5)) + C = 40/13 * x^2 * (5√x^3) + C. 

Таким образом, неопределенные интегралы — это достаточно трудная тема, для понимания которой необходимы знания массы других тем, например: свойства степеней, корней, дробей и т.д. Поэтому если вы чувствуете, что не знаете каких-то моментов из предыдущих занятий, то вернитесь к ним и повторно ознакомьтесь с материалом.