Тождества

Что касается тождественного выражения, то это — такое алгебраическое выражение, которое не меняет своего значения вне зависимости от того, какое значения примут переменные, входящие в его состав.

Чтобы было понятнее, приведем пример: рассмотрим две записи n * n и n^2. Они будут равны друг другу абсолютно всегда, вне зависимости от значения, которое примет n.

Тождествами можно смело назвать и все известные свойства действий над числами:

• z + e = e + z;
• (z + e) + t = z + (e + b);
• gu = ug;
• (ze) * t = z * (et);
• a * (b+c) = ab + ac;
• p + 0 = p;
• a * 0 = 0;
• a * 1 = a.

В свою очередь числовые равенства, являются верными, также принадлежат к рассматриваемой группе примеров.

Отметим и знак, который используется для обозначения равенства. Им является “=”, где слева и справа от него должны находится определенные числа и арифметические знаки. Что касается тождественного знака, то он выглядит следующим образом “≡”.

Но справедливости ради подчеркнем, что зачастую две этих формы фиксации ничем не отличаются друг от друга, однако, “≡” можно задействовать в том случае, если необходимо сделать акцент на том, что перед нами не просто неравенство, а тождество.

Теперь для закрепления информации обратимся к примерам.

Пример №1

Начнем с простых примеров, например 3 + 4 = 7 и 11 — 1 = 5 * 2. Их можно отнести к тождествам, так как они полностью верные и справедливые. А теперь запишем эти же примеры, но только уже используя другой известный нам знак: 3 + 4 ≡ 7 и 11 − 1 ≡ 5 * 2. Однако не забываем, что в тождествах присутствуют и переменные.

Пример №2

Рассмотрим выражение 9 * (у + 3) = 9 * у + 27. Данная запись при любом значении y будет верной, так как если применить к ней распределительный закон умножения, то все становится наглядно видно. Таким образом, этот пример можно смело назвать тождеством.

Однако многие достаточно часто ошибаются называя тождествами то, что ими точно не является. Рассмотрим самые распространенные ошибки, чтобы не допустить их в собственной практике:

• a — c = c -a. Эту запись нельзя назвать тождественной, поскольку значение левой и правой стороны не уравнено. Докажем это. Предположим, что a = 6, а c = 3, тогда у нас получится: 6 — 3 = 3 — 6; 3 = — 3. Как видите ответы не совпали;
• Теперь поговорим о таком равенстве как b^2 + b^2 = b^4. Предположим, что b = 3, тогда: 3^2 + 3^2 = 3^4; 9 + 9 = 81; 18 = 81. Получается, что данная запись не принадлежит к рассматриваемой нами группе равенств.

Отметим еще одно понятие, относящиеся к нашей теме.

Им можно назвать использование формул сокращенного умножения, законов арифметики и прочего.

Методы подтверждения тождеств

Они в себя включают:

1. Упрощение левой части выражения так, чтобы она приняла вид правой стороны. Если у вас получилось это сделать, то данная запись является тождеством. Рассмотрим пример: a (b — x) + x (a + b) = b (a + x). Попробуем изменить левую часть записи так, чтобы она соответствовала правой: ab — ax + ax + xb = ax + xb = b (a + x). Таким образом, левая и правая стороны соответствуют друг другу, а значит что выражение тождественно;
2. Упрощение правой части выражения так, чтобы она приняла вид левой стороны. Тут действуем по такому же принципу, как и в предыдущем пункте;
3. Преобразование обеих сторон примера до тех пор, пока они не примут одинаковый вид. Здесь также нет ничего нового;
4. И заключительный способ — это вычесть из одной стороны выражения другую. Если в результате всех арифметических махинаций вы получили 0, то выражение тождественно. Решим следующий пример: (m — a) (m — b) = m^2 — (a + b) m + ab; (m — a) (m — b) — (m^2 — (a + b) m + ab) = m^2 — mb — ma + ab — (m^2 — am — bm + ab) = m^2 — mb — ma + ab — m^2 + am + bm — ab = 0.