Уравнение и его корни. Уравнение с одной переменной

Определение

Уравнения — это вид равенств, содержащих в себе одно или несколько неизвестных чисел, которые необходимо найти.

Эти неизвестные числа, как правило, заменяют прописными латинскими буквами: x, y, z и т.д.

Таким образом, уравнение, это равенство с переменной, значение которой не задан, а его нужно найти. В свою очередь равенство с переменной — это уравнение с одной или несколькими неизвестными. Например: x + 3 = 6 * x + 7.

Определение

Корень уравнения — это то число, которое может принимать переменная и при этом оставлять данное выражение математически верным. Для лучшего усвоения материала покажем наглядно: 2х = 6, где х = 3. Это и будет являться корнем уравнения.

Если говорить о том, что предполагает под собой решение уравнения, то это поиск всех возможных корней или доказательство того, что их нет.

Теперь перейдем к основным свойствам, которыми можно пользоваться при решении рассматриваемого математического выражения:

  1. Если уравнение содержит в себе скобки или же подобные слагаемые, то их можно преобразовать и тем самым упростить запись;
  2. Члены уравнения при необходимости можно перемещать из левой стороны в правую и наоборот. Но важно помнить, что в этом случае знак перед переносимым элементом меняется на противоположный;
  3. С целью упрощения выражения обе его части можно делить и умножать на одно и то же число. При этом у нас получится пример, равный исходному. Исключением в этом случае будет 0.

Определение

Линейное уравнение — это уравнение, обладающее следующей буквенной формой: ax + b = 0, где a и b — действительные числа.

Здесь же отметим, что выражения, которые с помощью различных математических свойств сводятся к виду ax = b, имеют название уравнений, сводящихся к линейным. Под различными математическими свойствами подразумевается приведение подобных слагаемых, умножение и деление обеих сторон примера на одно и то же число, перенос чисел из одной стороны в другую и прочее.

В зависимости от того, какое значение свойственно a и b, можно узнать сколько корней в линейном уравнении:

  • a не равняется 0, b обладает любым значением, в таком случае ax = b будет иметь всего один корень, который можно найти с помощью формулы x = b / a.  Для наглядности опять же приведем пример: 3x = 3, тогда x = 3 / 3, x = 1;
  • a = 0, b не равняется 0, тогда ax = b не имеет решений и, следовательно, корней тоже. Так посмотрим на выражение 0 * x = 5. Здесь нет таких значений, при которых умножение на 0 могло бы дать значение 5;
  • a = 0, b = 0, в этом случае ax = b имеет неограниченное количество корней. Это понятно из выражения: 0 * x = 0. Любое число при умножении на 0 дает 0.

Алгоритм решения линейных уравнений

Чтобы не запутаться при вычислении корней, необходимо все делать согласно плану:

  1. Раскрываем все скобки, которые присутствуют в решаемом нами выражении;
  2. Затем мы делим все члены на две части: с неизвестными и все остальные. Первая группа должна находится в левой стороне уравнений, а вторая в правой;
  3. Далее мы сокращаем, складываем и производим всевозможные действия с подобными членами;
  4. Если есть возможность избавиться от лишних коэффициентах при неизвестных, то делаем это путем деления или умножения всего уравнения на одно и то же число. 

Важно

При делении или умножении обеих частей уравнения на одно и то же число мы получаем эквивалентное выражение, т.е. уравнение, для решения которого понадобятся те же корни, что и для исходного. Например: x + 1 = 4, значит x = 3; x — 1 = 2, тогда x = 3. Таким образом два этих примера равносильны.

Примечательно, что не имеющие корней выражения также можно назвать равносильными.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх