Функция и её график. Значения функции

Определение

Функция — это термин, отражающий зависимость двух таких переменных, как x и y. Стоит отметить отличительную черту функции, а именно тот факт, что конкретному значению х соответствует только одно значение у.

Х — не зависит ни от каких условий, отсюда и название независимой переменной. Y же в свою очередь принимает то значение, которое принадлежит всей функции. Поэтому эта переменная называется зависимой.

Если рассматривать буквенное обозначение функции, то оно следующее: у = f(х), где буквой “f” называют саму функцию. Однако часто запись упрощают до вида у(х).

Определение

Область определения функции — это то многообразие значений аргументов, при которых функция остается решаемой, т.е. имеет смысл.

При письме область определения функции f(х) обозначают как D(f), а для функции у(х) — D(у).

Определение

Область значений функции — это уже те значения, которые принадлежат зависимой переменной. 

Так многообразие значений функции f(х) записывается в буквенном варианте как E(f).

Варианты заданий функции

Существует два основных способа, с помощью которых можно это сделать:

  1. При помощи формулы. Приведем для наглядного восприятия пример: у = x^2 + 2x + 5, y = 3 / x + 1;
  2. Используя график. Графиком же принято называть все то количество точек на координатной плоскости, абсциссы которых приравнены к значениям независимой переменной x, а ординаты — зависимой переменной y.

Вспомним и разновидности функций. Среди них стоит выделить следующие:

  • Линейная функция, обладающая уравнением у = kх + b, где k не равна 0. При таких условиях графиком данной функции будет прямая. Вне зависимости от того, какое значение будет принадлежать x, график функции не изменится. Поэтому область определения можно записать следующим образом: D(y) = R, где R является множеством действительных чисел. Область значения также охватывает все действительные числа, а значит E(y) = R. 
  • Функция с уравнением y = x^2, графиком которой является парабола. Область определения здесь также D(y) = R. Это объясняется тем, что x^2 при любых значениях будет больше или равно нулю, т.е. иметь значение в виде неотрицательных действительных чисел. Область значений же E(y) = [0; + ∞).
  • График обратной пропорциональности.  Уравнением для него будет y = k / x, где k принимает любое значение кроме 0. Поскольку k / x не имеет значения при x = 0, то и область определения будет захватывать все числа, кроме 0, т.е. D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞). Область значений также равна всем числам кроме 0, так как при любом ином значении x y = k / x не будет приравнено к 0: E(y) = (-∞; 0) U (0; +∞). В зависимости от того, больше или меньше 0 коэффициент k, график может располагаться либо в 1 и 3 четверти координатной плоскости (при k > 0), либо во 2 и 4 (при k < 0). Что касается самого графика данной функции, то его называют гиперболой. Она состоит из двух ветвей, находящихся в противоположных частях координатной плоскости и не пересекающих координатные оси.
  • Функция уравнения y = √x. Его еще называют арифметическим квадратным корнем. Поскольку квадратный корень подразумевает под собой неотрицательное число, то и область определения будет равна неотрицательным числам, т.е. D(y) = [0; +∞). Область значений имеет этот же отрезок: E(y) = [0; +∞). 

Знание данного материала поможет вам не только на уроках алгебры, но и физики, так как там нередко встречаются задачи, требующие решения подобных уравнений.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх