Решение рациональных неравенств методом интервалов

Принцип метода интервалов заключается в том, что мы должны разбить область определения функции на интервалы, где она имеет одинаковый знак. Затем необходимо определить знак функции на каждом интервале, используя тестовую точку. Наконец, объединяем интервалы, на которых функция удовлетворяет неравенству.

Примеры неравенств. Алгоритм решения

Примеры решения рациональных неравенств методом интервалов:

• Решить неравенство (x – 2)/(x + 1) > 0.

Сначала мы должны найти корни уравнения x + 1 = 0:

x = -1

Теперь мы можем построить интервалы на основе корней:

(-∞, -1), (-1, 2), (2, +∞)

Следующим шагом является определение знака функции на каждом интервале. Для этого мы можем использовать тестовую точку на каждом интервале.

Например, для интервала (-1, 2) будем использовать точку x = 0:

f(0) = (0 – 2)/(0 + 1) = -2/1 = -2

Таким образом, функция f(x) отрицательна на интервале (-1, 2).

Аналогично, мы можем определить знак функции на остальных интервалах:

f(x) > 0 на интервалах (-∞, -1) и (2, +∞)

Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов, где функция положительна:

(-∞, -1) ∪ (2, +∞)

• Решить неравенство (x^2 – 4)/(x – 2) ≥ 0.

Сначала необходимо найти корни уравнения x – 2 = 0:

x = 2

Теперь мы можем построить интервалы на основе корней:

(-∞, 2), (2, +∞)

Следующим шагом является определение знака функции на каждом интервале. Для этого мы можем использовать тестовую точку на каждом интервале.

Например, для интервала (2, +∞) будем использовать точку x = 3:

f(3) = (3^2 – 4)/(3 – 2) = 5

Таким образом, функция f(x) положительна на интервале (2, +∞).

Аналогично, давайте определим знак функции на остальных интервалах:

f(x) < 0 на интервале (-∞, 2)

Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов, где функция неотрицательна:

[2, +∞)

Важно отметить, что в данном случае мы не можем включить интервал (2, +∞) в решение, так как функция имеет разрыв в точке x = 2.