Решение неравенств второй степени с одной переменной

Чтобы решить неравенство второй степени с одной переменной, нужно найти все значения переменной, которые удовлетворяют заданному неравенству второй степени. Такие неравенства имеют вид ax^2 + bx + c < 0 или ax^2 + bx + c > 0, где a, b и c — коэффициенты, которые могут быть любыми числами.

Существует несколько способов решения неравенств второй степени с одной переменной, включая графический метод, метод интервалов и метод дискриминанта. На этом уроке мы рассмотрим один из самых популярных методов решения неравенств такого типа: метод дискриминанта.

Метод дискриминанта

Метод дискриминанта основан на использовании дискриминанта квадратного уравнения, который определяется как D = b^2 — 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень; если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Для решения неравенств второй степени с одной переменной методом дискриминанта, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Привести неравенство к стандартному виду ax^2 + bx + c < 0 или ax^2 + bx + c > 0, где a, b и c — коэффициенты.
2. Вычислить дискриминант D = b^2 — 4ac.
3. Определить знак коэффициента a. Если a > 0, то неравенство имеет вид ax^2 + bx + c < 0, иначе неравенство имеет вид ax^2 + bx + c > 0.
4. Если D > 0 и a > 0, то неравенство имеет два корня x1 и x2. Решение неравенства состоит из интервала (x1, x2).
5. Если D > 0 и a < 0, то неравенство имеет два корня x1 и x2. Решение неравенства состоит из двух интервалов (-∞, x1) и (x2, +∞).
6. Если D = 0 и a > 0, то неравенство имеет один корень x. Решение неравенства состоит из интервала (x).
7. Если D = 0 и a < 0, то неравенство не имеет решений.
8. Если D < 0, то неравенство не имеет корней.

Примеры решения неравенств второй степени с одной переменной методом дискриминанта:

• Решить неравенство x^2 — 4x + 3 > 0.

a = 1, b = -4, c = 3

D = (-4)^2 — 4(1)(3) = 4 > 0

a > 0

x1 = 1, x2 = 3

Решение: (1, 3).

• Решить неравенство -x^2 + 4x — 3 < 0.

a = -1, b = 4, c = -3

D = 4^2 — 4(-1)(-3) = 4 > 0

a < 0

x1 = 1, x2 = 3

Решение: (-∞, 1) ∪ (3, +∞).