Решение неравенств методом интервалов
Принцип метода интервалов заключается в том, что если функция f(x) меняет знак на интервале [a, b], то уравнение f(x) = 0 имеет корень на этом интервале. Следовательно, если мы можем определить знак функции на каждом интервале, то определим, где функция положительна, отрицательна и где она обращается в ноль.
Примеры неравенств и алгоритм решения
Рассмотрим несколько примеров решения неравенств методом интервалов.
- Решить неравенство x^2 — 5x + 6 > 0.
Сначала мы должны найти корни уравнения x^2 — 5x + 6 = 0:
(x — 3)(x — 2) = 0
x1 = 2, x2 = 3
Теперь мы можем построить интервалы на основе корней:
(-∞, 2), (2, 3), (3, +∞)
Следующим шагом является определение знака функции на каждом интервале. Для этого мы можем использовать тестовую точку на каждом интервале.
Например, для интервала (2, 3) мы можем использовать точку x = 2.5:
f(2.5) = (2.5)^2 — 5(2.5) + 6 = -0.25
Таким образом, функция f(x) отрицательна на интервале (2, 3).
Аналогично, мы можем определить знак функции на остальных интервалах:
f(x) > 0 на интервалах (-∞, 2) и (3, +∞)
Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов, где функция положительна:
(-∞, 2) ∪ (3, +∞)
- Решить неравенство x^3 — 6x^2 + 11x — 6 > 0.
Сначала мы должны найти корни уравнения x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = 0.
Давайте использовать метод группировки:
x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = (x^3 — 3x^2) + (-3x^2 + 9x) + (8x — 6) = x^2(x — 3) — 3x(x — 3) + 2(4x — 3) = (x — 3)(x^2 — 3x + 2) = (x — 3)(x — 1)(x — 2)
Теперь построим интервалы на основе корней:
(-∞, 1), (1, 2), (2, 3), (3, +∞)
Следующим шагом станет определение знака функции на каждом интервале. Для этого мы можем использовать тестовую точку на каждом интервале.
Например, для интервала (1, 2) будем использовать точку x = 1.5:
f(1.5) = (1.5)^3 — 6(1.5)^2 + 11(1.5) — 6 = -0.375
Таким образом, функция f(x) отрицательна на интервале (1, 2). Аналогично, определим знак функции на остальных интервалах.
Наши репетиторы помогут
-
Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны
-
Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам
-
Повысить успеваемость по предметам