Решение неравенств методом интервалов

Принцип метода интервалов заключается в том, что если функция f(x) меняет знак на интервале [a, b], то уравнение f(x) = 0 имеет корень на этом интервале. Следовательно, если мы можем определить знак функции на каждом интервале, то определим, где функция положительна, отрицательна и где она обращается в ноль.

Примеры неравенств и алгоритм решения

Рассмотрим несколько примеров решения неравенств методом интервалов.

• Решить неравенство x^2 – 5x + 6 > 0.

Сначала мы должны найти корни уравнения x^2 – 5x + 6 = 0:

(x – 3)(x – 2) = 0

x1 = 2, x2 = 3

Теперь мы можем построить интервалы на основе корней:

(-∞, 2), (2, 3), (3, +∞)

Следующим шагом является определение знака функции на каждом интервале. Для этого мы можем использовать тестовую точку на каждом интервале.

Например, для интервала (2, 3) мы можем использовать точку x = 2.5:

f(2.5) = (2.5)^2 – 5(2.5) + 6 = -0.25

Таким образом, функция f(x) отрицательна на интервале (2, 3).

Аналогично, мы можем определить знак функции на остальных интервалах:

f(x) > 0 на интервалах (-∞, 2) и (3, +∞)

Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов, где функция положительна:

(-∞, 2) ∪ (3, +∞)

• Решить неравенство x^3 – 6x^2 + 11x – 6 > 0.

Сначала мы должны найти корни уравнения x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0.

Давайте использовать метод группировки:

x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x^3 – 3x^2) + (-3x^2 + 9x) + (8x – 6) = x^2(x – 3) – 3x(x – 3) + 2(4x – 3) = (x – 3)(x^2 – 3x + 2) = (x – 3)(x – 1)(x – 2)

Теперь построим интервалы на основе корней:

(-∞, 1), (1, 2), (2, 3), (3, +∞)

Следующим шагом станет определение знака функции на каждом интервале. Для этого мы можем использовать тестовую точку на каждом интервале.

Например, для интервала (1, 2) будем использовать точку x = 1.5:

f(1.5) = (1.5)^3 – 6(1.5)^2 + 11(1.5) – 6 = -0.375

Таким образом, функция f(x) отрицательна на интервале (1, 2). Аналогично, определим знак функции на остальных интервалах.