Квадратичная функция и её график

В данной теме мы рассмотрим такую квадратичную функцию, как y = ax^2 + bx + c, где a не равняется 0, а также ее график. 

Начать стоит с построения графика функции y = x^2. Но перед этим отметим, что данная функция имеет смысл при любых действительных числах, выступающих в качестве значений переменной. Иными словами область определения является x ∈ R.

При этом значения функции исключительно положительные или же 0, т.е. y ≥ 0.

Также стоит упомянуть, что график рассматриваемой нами функции симметричен относительно оси ординат или, как ее еще называют, оси Oy, так как y(-x) = y(x) для всех x ∈ R.

Для того чтобы построить график, необходимо составить таблицу со значениями x и y. У нас она выглядит следующим образом:

Полученные точки отметим на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Как и было сказано ранее, при условии верных вычислений и построений график получается полностью симметричным относительно оси Oy.

Полученный рисунок называется параболой, а правая и левая его части по отдельности имеют наименование ветвей параболы. На полученном нами графики они направлены вверх.

Теперь составим графики функций y = 2x^2 и y = 1/2x^2.

Но здесь также надо обозначить ряд таких моментов, как:

• Область определения, которая, как и в предыдущем случае, равняется x ∈ R;
• Множество значений, также остающееся прежним, а именно y ≥ 0, при этом y = 0 только тогда, когда и x = 0.

Составим таблицы для каждого графика функции, однако, сами графики изобразить в одной системе координат.

Начнем с функции y = 2x^2

Теперь составим таблицу для y = 1/2x^2

Теперь, если сравнить все три вышеописанных чертежа, то можно сделать следующий вывод: при умножении функции на a > 1 график растягивается вдоль оси Oy в число раз, равное a. При умножении функции на 0 < a < 1 сжимается вдоль оси Oy в число раз, равное 1/a, для y = ½ – сжатие в 2 раза.

Построим теперь график такой функции, как y = -x^2. Область определения – все действительные числа, т.е. x ∈ R. Множество значений – любые неположительные числа, иными словами y ≤ 0. При этом y = 0 только в том случае, если и x = 0.

Опять же составляем таблицу со значениями x и y, по которым мы потом и будем чертить график.

Теперь сравним этот график с графиком y = x^2. Можно сделать вывод, что при умножении функции на -1 она симметрично отражается относительно оси Ox.

Далее рассмотрим графики функций двух таких функций, как y = (x-1)^2 и y = (x+1)^2.

Как и во всех остальных случаях областью определения являются все действительные числа, т.е. x ∈ R, а множеством значений выступают все положительные числа, включая 0 – y ≥ 0. При этом y = 0 только тогда, когда и x = 0.

Также составляем таблицы значений:

y = (x – 1)^2

y = (x + 1)^2

Построим теперь эти графики вместе с функцией y = x^2

Таким образом, один график относительно графика y = x^2 находится на единицу левее, а другой на единицу правее. Между собой они симметричны по оси Oy.

Подведем итог данного сравнения: если мы к переменной прибавим число a большее 1, то получим смещение графика влево по оси абсцисс на число единиц, равное a. А в случае, если из переменной вычесть a большее 1, то график передвинется вправо вдоль оси абсцисс на то же количество единичных отрезков, что и число a.

Теперь перейдем к графикам y = x^2 + 1 и y = x^2 – 1, область определения которых – это все действительные числа: x ∈ R. Что касается множества значений, то для первой функции это y ≥ 1, а для второй y ≥ -1/

Отметим и тот факт, что графики симметричны относительно оси Oy, поскольку y(-x) = y(x) для всех действительных чисел.

Опять составляем таблицы.

y = x^2 + 1 

y = x^2 – 1

Если сравнивать эти два графика с графиком функции y = x^2, то можно сделать вывод, что при добавлении к функции положительного числа ее график поднимается по оси Oy количество единиц равное добавленному значению. По такому же принципу работает система при отнимании числа.

Все вышеописанные изменения, которые можно делать с графиками функция, называются элементарными.

Теперь, обладая знания, которые мы получили при решении простых функций, можно воспроизводить построение y = ax^2 + bx + c, где a не равняется 0.

Для этого необходимо:

1. Привести функцию к следующему виду: y = a(x + b / 2a)^2 + c – b^2 / 4a. Это делается путем выделения квадрата;
2. Начертить базовый график y = x^2;
3. Переместить его на -b / 2a в зависимости от знака слагаемого либо вправо, либо влево. Таким образом получится график y = (x+b/2a)^2;
4. Растянуть или сжать график. Это зависит от модуля a: либо |a| > 1, либо 0 < |a| < 1;
5. Проверяем направление ветвей параболы. Если коэффициент a больше 0, то они смотрят наверх, а если a меньше нуля, то соответственно они опущены вниз. Не забываем про симметрию относительно оси абсцисс. На этом этапе у нас отображена функция y = a(x + b / 2a)^2;
6. Заключительный этап – это перемещения графика вниз или вверх на c – b^2 / 4a единиц. Если это число положительное, то двигаем наверх, если отрицательное, то опускаем.

На этом наш график готов.

Свойства вершин параболы

Любая вершина параболы имеет набор свойств, знание которых поможет вам в решении задач:

• Вершина параболы – это либо максимальное, либо минимальное значение функции. Это зависит от направления ветвей: если они устремляются наверх, то вершина – точка минимума, если ветви опущены вниз, то точка максимума;
• Проводя прямую, параллельную оси Oy, мы получаем середину данной параболы, относительно которой сам график симметричен.