Системы неравенств с двумя переменными. Изображение на координатной плоскости

На прошлом уроке мы уже познакомились с единичными неравенствами с двумя переменными, выяснили, как отмечать их на графике. На этом занятии рассмотрим, как изображать системы неравенств с двумя переменными.

Что такое системы неравенств с двумя переменными?

Системы неравенств с двумя переменными – это набор неравенств, которые содержат две переменные.

Например, система неравенств может иметь вид:

x + y ≤ 5

x — y ≥ 1

Эта система неравенств содержит две переменные x и y, а также два неравенства. Решение такой системы неравенств – это набор значений переменных x и y, удовлетворяющих всем неравенствам системы.

Изображение на координатной плоскости

Для изображения системы неравенств с двумя переменными на координатной плоскости необходимо выполнить следующие шаги:

1. Нарисуйте оси координат x и y.
2. Найдите точки пересечения осей координат (0,0).
3. Изобразите каждое неравенство отдельно на координатной плоскости с помощью прямой линии.
4. Определите область пересечения всех прямых, которые представляют каждое неравенство. Эта область и будет решением системы неравенств.

Рассмотрим пример.

Допустим, у нас есть система неравенств:

x + y ≤ 5

x — y ≥ 1

1. Нарисуйте оси координат x и y.
2. Найдите точки пересечения осей координат (0,0).
3. Изобразите каждое неравенство отдельно на координатной плоскости с помощью прямой линии. Для первого неравенства x + y ≤ 5 нарисуем прямую линию, проходящую через точку (5,0) и (0,5). Для второго неравенства x — y ≥ 1 нарисуем прямую линию, проходящую через точку (1,0) и (0,-1).
4. Определите область пересечения всех прямых, которые представляют каждое неравенство. Эта область и будет решением системы неравенств.

Область пересечения прямых, которые представляют каждое неравенство, находится в верхней правой части координатной плоскости и ограничена прямыми x + y ≤ 5 и x — y ≥ 1. Эта область и будет решением системы неравенств.

Рассмотрим другой пример.

Дана система неравенств:

y > x — 1

y < -x + 3

• Перепишем каждое неравенство в виде:

y = x — 1

y = -x + 3

• Построим графики на координатной плоскости.
• Определим, какая область на графике удовлетворяет каждому неравенству. Для этого возьмем любую точку внутри одной из областей и проверить, удовлетворяет ли она неравенству. Например, точку (0, 0):

y > x — 1: 0 > 0 — 1, это неравенство не выполняется.

y < -x + 3: 0 < -0 + 3, это неравенство выполняется.

Точки, лежащие в области между графиками y = x — 1 и y = -x + 3, будут удовлетворять системе неравенств. Закрасим эту область на графике, чтобы получить визуальное представление решения.

Резюме

Системы неравенств с двумя переменными – это набор неравенств, содержащих две переменные. Для изображения системы неравенств на координатной плоскости необходимо нарисовать оси координат, найти точки пересечения осей, изобразить каждое неравенство отдельно и определить область пересечения всех прямых, которые представляют каждое неравенство. Эта область и будет решением системы неравенств.