Решение систем уравнений второй степени методом подстановки

В системе уравнений второй степени может быть два уравнения.

Метод подстановки заключается в том, чтобы из одного уравнения выразить одну из переменных и подставить ее значение в другое уравнение. В результате получится уравнение от одной переменной.

Пример 1

Рассмотрим систему уравнений:

x^2 + y^2 = 25

x – y = 1

В нашем примере выражаем x из второго уравнения:

x = y + 1

Затем подставляем это выражение в первое уравнение:

(y + 1)^2 + y^2 = 25

После раскрытия скобок получаем квадратное уравнение от одной переменной:

2y^2 + 2y – 24 = 0

Решим его стандартным способом, например, методом дискриминанта:

D = b^2 – 4ac = 4^2 – 4*2*(-24) = 256

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-2 + 4sqrt(2)) / 4 = sqrt(2) / 2 + 1/2

y2 = (-b – sqrt(D)) / (2a) = (-2 – 4sqrt(2)) / 4 = -sqrt(2) / 2 – 1/2

Теперь, зная значения y1 и y2, найдем соответствующие значения x:

x1 = y1 + 1 = sqrt(2) / 2 + 3/2

x2 = y2 + 1 = -sqrt(2) / 2 + ½

Пример 2

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений:

x^2 – y^2 = 16

2x + y = 7

Решение:

Из второго уравнения выражаем y:

y = 7 – 2x

Подставляем это выражение в первое уравнение:

x^2 – (7 – 2x)^2 = 16

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

-3x^2 + 28x – 33 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = b^2 – 4ac = 28^2 – 4*(-3)*(-33) = 400

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (28 + 20) / (-6) = -4

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2a) = (28 – 20) / (-6) = -1

Находим соответствующие значения y:

y1 = 7 – 2×1 = 15

y2 = 7 – 2×2 = 9

Ответ: (x1, y1) = (-4, 15), (x2, y2) = (-1, 9)

Пример 3

Решим систему уравнений:

x^2 – 2y^2 = 3

3x + 2y = 7

Решение:

Из второго уравнения выражаем y:

y = (7 – 3x) / 2

Подставляем это выражение в первое уравнение:

x^2 – 2((7 – 3x) / 2)^2 = 3

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

-11x^2 + 42x – 37 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = b^2 – 4ac = 42^2 – 4*(-11)*(-37) = 5616

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (42 + 6sqrt(78)) / (-22)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2a) = (42 – 6sqrt(78)) / (-22)

Находим соответствующие значения y:

y1 = (7 – 3×1) / 2 = (7 + 3sqrt(78)) / 22

y2 = (7 – 3×2) / 2 = (7 – 3sqrt(78)) / 22

Ответ: (x1, y1) = ((42 + 6sqrt(78)) / (-22), (7 + 3sqrt(78)) / 22), (x2, y2) = ((42 – 6sqrt(78)) / (-22), (7 – 3sqrt(78)) / 22).