Решение задач с помощью систем уравнений второй степени методом сложения

Например, система уравнений может иметь вид:

x^2 + y^2 = 25

x — y = 1

Эта система уравнений содержит две переменные x и y, а также два уравнения. Решение такой системы уравнений – это набор значений переменных x и y, удовлетворяющих всем уравнениям системы.

Алгоритм решения

Для решения задач с помощью систем уравнений второй степени методом сложения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сформулируйте задачу в виде системы уравнений второй степени.
2. Приведите уравнения к общему виду, где все коэффициенты при переменных будут равными.
3. Сложите уравнения, чтобы получить уравнение, содержащее только одну переменную.
4. Решите полученное уравнение.
5. Подставьте найденное значение переменной в одно из исходных уравнений и решите его относительно другой переменной.
6. Проверьте полученное решение, подставив его в исходную систему уравнений.

Рассмотрим пример.

Допустим, у нас есть задача:

Два числа в сумме дают 10, а их произведение равно 21. Найдите эти числа.

• Сформулируем задачу в виде системы уравнений второй степени.

Пусть x и y – это два числа. Тогда задача может быть сформулирована в виде системы уравнений:

x + y = 10

xy = 21

• Приведем уравнения к общему виду, где все коэффициенты при переменных будут равными.

x + y = 10

xy — 21 = 0

• Сложим уравнения, чтобы получить уравнение, содержащее только одну переменную.

x + y = 10

xy = 21

Умножим первое уравнение на y и выразим x:

xy + y^2 = 10y

x = 10 — y

Подставим это выражение во второе уравнение:

(10 — y)y = 21

y^2 — 10y + 21 = 0

• Решим полученное уравнение.

Для решения этого уравнения можно использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 — 4ac = 10^2 — 4*1*21 = 16

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:

y1 = (10 + 4)/2 = 7

y2 = (10 — 4)/2 = 3

• Подставим найденное значение переменной в одно из исходных уравнений и решим его относительно другой переменной. 

Затем проверим полученное решение, подставив его в исходную систему уравнения.

Этот шаг уже знаком вам по прошлым урокам: попробуйте провести проверку самостоятельно!