Возрастание, убывание, нули, промежутки знакопостоянства

Первое, с чего стоит начать изучение данной темы, это знакомство с понятием возрастающей функции.

Определение

Возрастающая функция — это функция, для которой свойственна следующая закономерность: чем больше значение аргумента, тем больше значение заданной функции, т.е. x1 меньше x2, следовательно, f(x1) меньше f(x2).

Также функции бывают и убывающие. Разберемся с сущностью данного термина.

Определение

Убывающая функция — это функция, для которой свойственна следующая закономерность: чем меньше значение аргумента, тем больше значение заданной функции, т.е. x1 меньше x2, следовательно, f(x1) больше f(x2).

Важно

Если при возрастании функции мы движемся по направлению оси Oy, т.е. снизу вверх, то при убывании функции наоборот — против направления оси Oy, сверху вниз.

Также встречаются функции, которые на всем промежутке не изменяют своего значения. Их принято называть постоянными. 

Теперь поговорим о том, что такое нули функции.

Определение

Нули функции — это множество значений x, при которых f(x) = 0.

Есть и второе определение: нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox.

Также нельзя оставить без внимания и промежутки знакопостоянства.

Определение

Промежутки знакопостоянства — промежутки значений аргумента, на которых функция принимает либо исключительно положительные значения, либо исключительно отрицательные. Говоря простыми словами, это те промежутки, на которых функция не меняет свой знак. 

Как вы уже знаете, можно проводить исследование свойств функций. Однако для этого необходимо указывать такие моменты, как:

  1. Промежутки, на которых функция возрастает и на которых она убывает;
  2. Нули функции;
  3. Промежутки знакопостоянства функции.

Для закрепления изученного материала проведем исследование свойств функций.

Перед нами представлена линейная функция y = kx + b, где k не равно 0. Первое, что нам необходимо сделать, это исследовать функцию на возрастание и убывание. Здесь может быть два случая, когда k больше нуля и k меньше 0.

Рассмотрим случай с k больше 0.  Для начала найдем точки x1 и x2, где x1 меньше x2, а затем рассмотрим разность значений функций в этих точках.

y1 = kx1 + b; y2 = kx2 + b;

y2 — y1 = k(x2 — x1) > 0, так как x1 меньше x2 и k > 0. Таким образом, при k > 0 линейная функция возрастает на всей области определения.

Рассуждая подобным образом в случае с k меньше 0, можно доказать, что линейная функция убывает. 

Теперь разберем конкретную функцию y = 2x — 5. Найдем в ней коэффициент k. Им здесь является число 2. Поскольку 2 > 0 рассматриваемая нами функция возрастает.

А если посмотреть на функцию y = -3x + 8, то можно сделать вывод, что она убывает, так как коэффициент k = -3 и он меньше 0.

Далее мы должны найти нули функции y = kx + b, где k не равняется 0. Для этого необходимо приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение.

kx + b = 0;

x = -b/k.

Таким образом, функция y = kx + b равна нулю при x = -b/k.

Теперь перейдем к поиску промежутков знакопостоянства функции по ее графику.

При k > 0: y(x) положительное при x > — b/k; y(x) отрицательное при x < — b/k.

При k < 0: y(x) положительное при x < -b/k; y(x) отрицательное при x > -b/k.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх