Свойства функций

В данной теме мы займемся повторением всех свойств функций, их геометрического смысла, а также обозначим порядок их обозначения при исследовании графика.

И первым пунктом будет поиск точек пересечения графика функций с осями координат. Чтобы найти точку пересечения графика с осью Ox, необходимо y приравнять 0. После этого можно спокойно найти значение x.

По такому же принципу работаем при поиске точки пересечения графика функции с осью Oy: приравниваем x 0 и вычисляем y.  

Вторым пунктом рассмотрим понятие монотонности функции. Здесь необходимо вспомнить несколько терминов.

Определение

Возрастающая функция — это функция, в которой прослеживается следующая закономерность: чем больше значение аргумента, тем больше значение заданной функции, т.е. x1 меньше x2, следовательно, f(x1) меньше f(x2).

Противоположной возрастающей является убывающая функция.

Определение

Убывающая функция — это функция, при изучении которой прослеживается следующая закономерность: чем меньше значение аргумента, тем больше значение заданной функции, т.е. x1 меньше x2, следовательно, f(x1) больше f(x2).

Для наглядного представления данного графика можно посмотреть на рисунок, расположенный ниже.

Связующим звеном возрастающей и убывающей функции является монотонность.

Определение 

Монотонность — это явление в математике, когда функция не меняет знак и остается постоянным (по знаку) всегда на заданной области. 

Третий пункт мы посвятим ограниченности графика. Обратимся к терминологии.

Определение

Ограниченная функция — это та функция у = f(x), область значений которой ограничена, говоря простыми словами, все ее значения лежат на каком-нибудь конечном промежутке.

Примером ограниченной функции является следующий график: 

Важно

Функция может быть ограниченной сверху, т.е. график полностью лежит ниже прямой y = m. Также есть противоположные этому функции. Их называют ограниченными снизу, т.е. график полностью лежит выше прямой y = m. Увидеть графики данного типа можно на рисунке, представленном ниже.

Нередко встречаются функции ограниченные одновременно и сверху, и снизу. 

В четвертом пункте поговорим о наименьшем и наибольшем значении функции.

Определение

Наибольшее значение функции — это максимальное значение функции f (x) на множестве X или, как еще можно сказать, максимум функции f (x) на множестве X. 

Определение

Наименьшее значение функции — это минимальное значение функции f (x) на множестве X или, как еще можно сказать, минимум функции f (x) на множестве.

Пятым пунктом пойдут экстремумы функции.

Определение

Экстремумы — это точки, в которых функция меняет свою монотонность. 

Здесь можно выделить:

• Точка минимума — это точка, в которой убывание функции заменяется ее возрастанием;
•  Точка максимума = это точка, в которой возрастание функции заменяется на ее убывание.

Шестым пунктом отметим четность и нечетность функции.

Определение

Четная функция — функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной: f(x) = f(-x). Иными словами, график данной функции симметричен относительно оси Oy. 

Определение

Нечётная функция — функция, которая меняет свое значение на противоположное при условии, что знак независимой переменной также меняется: f(-x) = -f(x). Иными словами, график данной функции симметричен относительно центра координат.

Также существуют функции, которые нельзя отнести ни к одной из вышеописанных групп. Их принято называть функциями общего вида. 

Примерами всех трех этих разновидностей можно увидеть на следующем рисунке:

Седьмой пункт посвятим непрерывности функции.

Определение

Непрерывная функция — функция, которая меняется без разрывов. Говоря простыми словами, малые изменения аргумента являются следствием малых изменений значений функции. Такой график будет представлен в виде непрерывной линии.

Восьмой пункт посвящен выпуклости графика функции.

Определение

Выпуклая функция — это функция, для которой отрезок между любыми двумя точками её графика лежит выше проведенной дуги графика.

Противоположным определением является вогнутая функция.