Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

На этом уроке мы дадим определение сонаправленных лучей и докажем теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами. Далее дадим определение угла между пересекающимися прямыми и скрещивающимися прямыми. Рассмотрим, каким может быть угол между двумя прямыми. В конце урока решим несколько задач на нахождение углов между скрещивающимися прямыми.

На этом уроке нам понадобится одна из аксиом планиметрии, которая звучит следующим образом: «любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

Итак, пусть у нас есть некоторая прямая а, которая лежит в плоскости α. Согласно аксиоме, эта прямая разделяет плоскость α на две части. Каждую из которой, называют полуплоскостью.

Понятно, что наша прямая а разделила плоскость α на две полуплоскости. Одна из которых лежит слева от прямой а, вторая – справа. В свою очередь, прямую а называют границей каждой из этих полуплоскостей.

Обратите внимание, любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а. А вот любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от этой прямой.

Напомню, что два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Лучи ОА и O1A1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда углы О и О1 с соответственно сонаправленными сторонами лежат в разных плоскостях.

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОB и

О1B1. То есть, мы имеем два угла АОB и А1О1B1, стороны которых лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что угол АОB равен углу А1О1B1.

Отметим на сторонах лучей ОА и O1A1 точки А и A1 так, чтобы отрезки ОА и O1A1 были равны. На сторонах лучей ОB и O1B1 отметим точки B и B1 так, чтобы отрезки ОB и O1B1 были равны.

Рассмотрим четырехугольник ОАA1O1. Так как лучи ОА и O1A1 параллельны по условию (сонаправленны) и равны по построению, то четырехугольник ОАА1О1 является параллелограммом по признаку параллелограмма. Следовательно, АА1 параллельно ОО1 и АА1 равно ОО1.

Рассмотрим четырехугольник ОBB1O1. Его стороны ОB и O1B1 параллельны, т.к. лежат на сонаправленных лучах по условию и равны по построению. Значит, по признаку параллелограмма четырехугольник OBB1O1 является параллелограммом. Тогда, стороны BB1 и OO1 параллельны и равны.

Обратите внимание, мы получили, что прямая AA1 параллельна прямой OO1и прямая BB1 параллельна прямой OO1. Тогда по признаку параллельности прямых в пространстве, прямые AA1 и BB1 параллельны.

Рассмотрим четырехугольник BAA1B1. В этом четырехугольнике стороны AA1 и BB1 параллельны и равны. А значит, BAA1B1 – параллелограмм по признаку параллелограмма. Следовательно, стороны АB и A1B1 тоже параллельны и равны.

Теперь рассмотрим треугольники АОB и A1O1B1. Стороны ОА и O1A1 равны по построению. Стороны ОB и O1B1 также равны по построению. Выше мы доказали, что стороны АB и A1B1 равны. Значит, треугольники АОB и A1O1B1 равны по трем сторонам. Напомню, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОB и A1O1B1 равны. Теорема доказана.

Определение сонаправленных лучей

Лучи О2А2 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОВ и О1В1. То есть, мы имеем два угла АОВ и А1О1В1, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы отрезки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1 выберем так, чтобы отрезки ОВ и О1В1 были равны.

Рассмотрим четырехугольник А1О1ОА. В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм, то стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.

И прямая АА1 параллельна прямой ОО1, и прямая ВВ1 параллельна прямой ОО1, значит прямые АА1 и ВВ1 параллельны.

Угол между пересекающимися прямыми

• Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между двумя прямыми, называется наименьший из углов между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α. Угол α такой, что

Угол между скрещивающимися прямыми

• Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а1, параллельную прямой а, и прямую b1, параллельную прямой b. Прямые а1 и b1 пересекаются в точке О. Угол между двумя пересекающимися прямыми а1 и b1 , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Теорема: Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Угол между прямыми – это градусная мера, а не геометрическая фигура.

По определению 0° < α ≤ 90°.

И еще раз об угле между прямыми

Если прямые пересекаются, то угол между ними, как известно из планиметрии, равен величине вертикальных не тупых углов, образованных этими же прямыми.

Если же прямые скрещиваются, то угол между ними определяют так: через любую точку проводят прямые, параллельные данным, и находят угол между этими прямыми.

В частности, мы можем теперь говорить о взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых и отрезках, если угол между ними равен 90° (отрезки взаимно перпендикулярны, если они лежат на взаимно перпендикулярных прямых).

При таком расширении понятия перпендикулярности прямых, лучей и отрезков остаются справедливыми доказанные ранее теоремы, в которых перпендикулярность рассматривалась лишь для пересекающихся прямых, лучей и отрезков: признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорема о трёх перпендикулярах.

Убедитесь в этом!

В дальнейшем мы часто будем применять эти теоремы именно в этом более широком смысле. Так, например, прямая а перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости. Эти прямые прямую а могут и не пересекать.

ИТОГ

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач на нахождение угла между двумя прямыми. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории.

На этом уроке мы ввели понятие сонаправленных лучей. Узнали, что два луча ОА и О один А один в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей О О один. Лучи ОА и О один А один, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. А также доказали теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.